Вывод закона Ома в дифференциальной форме в классической электронной теории

Друде считал, что сразу после очередного соударения электрона с ионом кристаллической решетки скорость упорядоченного движения электрона равна нулю. Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

и к концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

(18.2)

где t - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости . В этом приближении , где - среднее значение длины свободного пробега, - скорость теплового движения электронов. Подставим это значение t в формулу (18.2)

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

Подставив это выражение в

получим

Плотность тока оказалась пропорциональной напряженности поля. Следовательно, мы получили закон Ома. Согласно коэффициент пропорциональности между j и Е представляет собой проводимость

(18.3)

Если бы электроны не сталкивались с ионами решетки, длина свободного пробега, а, следовательно, и проводимость были бы бесконечно велики. Таким образом, электрическое сопротивление металлов обусловлено соударениями свободных электронов с ионами.