Системы счисления

Десятичная система счисления

Системой счисления называют язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий над ними.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (цифра) может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком (цифрой) в записи числа.

Различные народы употребляли различные счетные группы. Большинство народов употребляло и употребляет десятичные группы счета или десятичную систему счисления. Единственной причиной выбора десятичной системы счисления является наличие у человека на руках десяти пальцев, которые служат удобнейшей вещественной основой для счета.

Для составления названий чисел по этой системе нужно иметь десять слов для названий первых десяти чисел и затем названия для новых счетных групп (сто, тысяча и т. д.). Добавление названий групп к числительным при счете позволяет обходиться деся­тью наименованиями числительных и десятью символами для записи чисел, соответствующих любому количеству.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 цифр (знаков, символов): 1234567890. Из них образуют краткие записи чисел: 234, 56, 8 765 и т. п.

Каждая позиция в этой записи имеет свое название и свое условное значение: цифра, стоящая на первой позиции справа, означает количество единиц в числе; цифра, стоящая на второй позиции справа, означает количество десятков в числе и т. д. Таким образом, одна и та же цифра имеет различные значения в зависимости от места (позиции), где она записана. Благодаря этому свойству современную десятичную систему счисления называют позиционной. Десятичная позиционная система счисления позволяет записывать сколь угодно большие натуральные числа.

Позиционный способ записи чисел является очень удобным и экономичным, поскольку, позволяет обходиться десятью значками (цифрами) при записи всего бесконечного множества чисел. Однако сама структура системы является чисто условной, особенно для ребенка, которому мы не можем объяснить ни роль «основания» системы (десятка), ни схему увеличения степени основания при «движении» по позициям справа налево, т. е. запись вида:

234 = 2 • 102 + 3 • 101 + 4 • 10°

не может быть рассмотрена в начальной школе, поскольку ребе­нок не знаком с понятием степени и способом нахождения степени числа.

При знакомстве с десятичной системой счисления ребенок просто заучивает, что числа 10, 100, 1 000 и т.д. называют разрядными единицами первого, второго, третьего и т. д. разряда, и что при этом 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т. е. отношение соседних разрядов равно 10 (фактически, отношения между разрядами — это просто степени числа 10).

В разные исторические периоды у некоторых народов имелись системы счисления с другими основаниями — 5,12, 20, 60. Напри­мер, древневавилонская система счисления была шестидесятиричная. Следы этой системы сохранились и сейчас в единицах измерения времени и величины угла: 1 час = 60 мин, 1 мин = 60 с, 1° = 60'.

Современные электронно-вычислительные машины использу­ют двоичную систему счисления, основанную на обозначении чисел двумя цифрами 0 и 1. Например, число 2 (1 + 1) в ней будет запи­сано как 10, а число 3 (2 + 1) — как 11.

В России десятичная система стала использоваться с XVII в. До этого времени числа записывались буквами славянского алфавита.

Римская система счисления

Примером непозиционной системы счисления без нуля может служить римская система. В ней числа от 1 до 20 обозначаются так:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX.

Для записи больших чисел используют специальные обозначения: 50 - Ь, 100 - С, 500 - В, 1 000 - М.

Число 1917 в римской системе можно записать по-разному: МСМ XVII или МВСССС XVII.

При этом первая запись предпочтительнее, поскольку четыре одинаковые цифры в записи числа римскими цифрами писать не принято.

В римской системе счисления используется принцип суммирования (его иногда называют принципом вычитания) при записи чисел: если меньшая цифра стоит после большей (справа), то она прибавля­ется к большей: МБ = 1500, XVII = 17. Если меньшая цифра стоит перед большей (слева), то она вычитается: СМ = 900, IV = 4.

Римские цифры продолжали использовать в школьных учебниках и после проникновения в Европу современных цифр, поэто­му их называли школьными.

Римскую запись чисел используют и сейчас для обозначения веков, глав книги, часов на круглых стрелочных циферблатах и т. п., поэтому во всех учебниках математики для начальных классов дети знакомятся с этой символикой.