Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).

1. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
2. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
3. Постройте точку C посередине между O и B.
4. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
5. Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F.
6. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
7. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
8. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Икосаэдр

Икосаэдр — одно из пяти платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распределения пяти цветов.

Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные грани не будут окрашены одинаково).

Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны и для наших целей полезны, ибо многие описанные ниже однородные многогранники имеют икосаэдральную симметрию.