Полное исследование функции и построение графиков

Практическая работа № 20.

Полное исследование функций. Построение графиков

Цель. Проверить знания и умения при полном исследовании функций на экстремум и построении их графиков функций.

Полное исследование функции и построение графиков

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

2) Четность, нечетность. Периодичность.

3) Найти точки пересечения с осями координат, если это не вызывает затруднений.

4) Точки разрыва. (Если они имеются).

5) Интервалы возрастания и убывания.

6) Точки максимума и минимума.

7) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

8) Области выпуклости и вогнутости.

9) Точки перегиба.(Если они имеются).

10) Асимптоты.(Если они имеются).

11) Построение графика.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. D(y)=

2.E(y)=

3. - функция нечетная, график симметричен относительно начала координат, непериодичная

4.

5. - вертикальные асимптоты

Найдем наклонные асимптоты.

- уравнение наклонной асимптоты.

6.

Критические точки:

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

7.

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.