Систем автоматического управления

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Юго-Западный государственный университет»

(ЮЗГУ)

Кафедра электроснабжения

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор –

проректор по учебной работе

____________Е.А.Кудряшов

«»__________________2012 г.

ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕНЬЕВ

СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Задания и методические рекомендации к выполнению

практической (самостоятельной) работы по курсам

«Теория автоматического управления»

и «Управление техническими системами»

для студентов технических специальностей

Курск 201 2

УДК 658.5. 011.56 (081)

Составители В.М. Емельянов, А.В. Филонович

Рецензент

Кандидат технических наук, доцент кафедры

электроснабжения А.Л. Овчинников

Построение частотных характеристик звеньев систем автоматического управления: методические указания к практической (самостоятельной) работе / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: В.М. Емельянов, А.В. Филонович. Курск, 2012, 16 с.: Ил.9. Библиогр.: с14.

Излагаются методические указания по построению частотных характеристик звеньев систем автоматического управления на основе использования передаточных функций. Рассматриваются реальные звенья: апериодические, дифференцирующие, интегрирующие и колебательные с изодромной и форсирующей цепочками.

Предназначена для студентов, изучающих дисциплину «Теория автоматического управления (по отраслям)» или «Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям)» или «Управление техническими системами» (по отраслям)

Текст печатается в авторской редакции

Подписано в печать. Формат 60х84 1/16.

Усл.печ.л. 1,4. Уч.–изд.л. 1,26. Тираж 50 экз. Заказ. Бесплатно.

Юго-Западный государственный университет.

305040, г. Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобрести навыки построения частотных характеристик звеньев систем автоматического управления (САУ) по передаточным функциям.

I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Частотными характеристиками звена (системы) называют зависимость от частоты входного сигнала амплитуды и фазы выходного гармонического (синусоидального) сигнала при прохождении через звено (систему).

Частотные характеристики получают по передаточной функции при замене оператора Р в операторных полиномах её числителя С (Р) и знаменателя В (Р) на оператор Фурье iω [I]:

W (P) = C (P) → W (iω) = C (iω) = U (ω) + iV (ω), (I)

где W (iω) – амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ (годограф);

U (ω) – вещественная (активная) составляющая;

V (ω) – мнимая (реактивная) составляющая.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представляет зависимость амплитуды гармонического сигнала от частоты при прохождении его через звено (систему):

А (ω) = |W (iω)| = √U² (ω) + V² (ω). (2)

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) представляет зависимость амплитуды гармонического сигнала от частоты при прохождении его через звено (систему):

φ (ω) = аrg W (iω) = arctg V (ω) (3)

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) представляет следующую зависимость:

L (ω) = 20 ℓg A (ω), дб. (4)

1.1. Апериодическое звено

Принципиальная схема апериодического звена приведена на

рис. 1.1.1. [2]

Рис. 1.1.1. Принципиальная схема (а) и схема распределения падений напряжений на элементах апериодического звена (б)

Передаточная функция звена представляется следующим выражением [2]:

W (P) = Uвых (P) = R₃ = K (T₁ P + 1), (1.1.1.)

Uвх (P) PL R₁ + R₂ +R₃ TP + 1

PL+R₁

Где К = R - коэффициент ослабления информационного анализа;

Т = L - постоянная времени звена;

R₁ (R₂ +R₃)

R₁+R₂+R₃

T = L - постоянная времени.

R₁

При R₁ >> R₂ и R₂ << R₃

K = 1; Т = L; Т = 0,

R₁

а при R₁ >> R₂ и R₂ ≈ R₃

K = R₃; T = L.

R₂ +R₃ R₂ +R₃

Заменяем оператор Р в передаточной функции (I.I.I) на оператор Фурье iω:

W (iω) = K (iT₁ω+1)

iTω+1 (1.1.2)

Далее, разделяем W (iω) на реальную и мнимую части, умножая числитель и зраменатель на комплексно-сопряжённое значение (iTω + 1), т.е. на (- iTω + 1).

W (iω) = K (iT₁ω + 1) (- iT₁ω + 1) = K (T₁ Tω² + 1 – i (T – T∂ω) =

(iTω + 1) (-iTω + 1) T²ω² + 1

= K (T₁ Tω² + 1) – i K (T – T₁)ω = U (ω) + iV (ω) (1.1.3.)

T²ω² + 1 T²ω² + 1

При Т₁ << Т получаем АФЧХ

W (iω) = К - i kTω. (1.1.4.)

T²ω² + 1 T²ω² + 1

АЧХ получаем по выражению (2) из (1.1.4.)

А (ω) = √U² (ω) + V² (ω) = K √1 + T² ω² = K. (1.1.5.)

T²ω² + 1 √ T²ω² + 1

ФЧХ определяем по выражению (3) из (1.1.4.)

φ (ω) = аrg W (iω) = arctg V (ω) = -arctg (Tω) (1.1.6.)

U (ω)

ЛАЧХ представляем по выражению (4) из (1.1.5.).

L (ω) = 20 ℓg A (ω) = 20 ℓg K – 20 ℓg √T² ω² + 1 (1.1.7.)

Графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ приведены на рисунке 1.1.2.

iV A(ω)

-U ω=∞ K U

₀ K

φ₁ ω=0

ω₁ б)

ω

а) 0 ω

-iV 0 ω

б) -45º

-90º

-φ(ω)

L(ω),

gd

г)

20ℓgK

-20 gd.

0 деK ω

1 10 100 1 1000 10000

T

Рис. 1.1.2. Частотные характеристики апериодического звена:

а – АФЧХ; б – АЧХ; в – ФЧХ; г – ЛАЧХ

1.2. Дифференцирующее звено

Принципиальная схема дифференцирующего звена приведена на рис. 1.2.1. [2]:

Рис. 1.2.1. Принципиальная схема (а) и схема распределения

токов и падений напряжений на элементах

дифференцирующего звена (б)

Передаточная функция дифференцирующего звена представляется следующим выражением [2]:

W (P) = iвых (Р) = 1 = РКТ, (1.2.1.)

Uвх (P) 1 (1 + R₂) + R₃ РТ+1

РС R₁

Где К = 1 - коэффициент ослабления сигнала;

R₂

T = C R₁ R₂ - постоянная времени-звена.

R₁+R₂

При R₁ >> R₂; K= 1; Т=CR₂. (1.2.2.)

R₂

Заменяем оператор Р в передаточной функции (1.2.1.) на оператор фурье iω и разделяем вещественную и мнимые части:

W (iω) = iωKT = iωKT (1 – iωT) = KT² ω² +

iTω+1 (iTω+1)(1-iωT) T²ω² + 1

+ iK Tω = U (ω) + iV (ω) (1.2.3.)

T²ω² + 1

Выражение (1.2.3.) представляет АФЧХ. АЧХ получаем по выражению (2) из (1.2.3.):

А (ω) = √U² (ω) + V² (ω) = KTω √1 + T² ω² = KTω

T²ω² + 1 √ T²ω² + 1 (1.2.4.)

ФЧХ определяем по выражению (3) из (1.2.3.):

φ (ω) = аrg W (iω) = arctg V (ω) = -arctg 1. (1.2.5.)

U (ω) Tω

ЛАЧХ представляем по выражению (4) из (1.2.4.):

L (ω) = 20 ℓg A (ω) = 20 ℓg K + 20 ℓg Tω – 20 ℓg√T² ω² + 1 (1.2.6.)

Графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ построены по аналитическим выражениям (1.2.3.), (1.2.6.) и приведены на рис. 1.2.2.

iV A(ω)

K

K.

√2

б)

ω₁

ω 0 ω

ω=0 ω=∞

φ₁ U φ(ω)

0 K 90º

а) в)

45º

0 ω

L(ω)

г) 20ℓgK

KT +20 gd.

20ℓg √.T²+1 дек

K 1 1 ω

Рис. 1.2.2. Частотные характеристики дифференцирующего

звена: а – АФЧХ; б – АЧХ; в – ФЧХ; г – ЛАЧХ

1.3. Интегрирующее звено

Принципиальная схема интегрирующего звена приведена на рис. 1.3.1. [2].

Рис. 1.3.1. Принципиальная схема (а) и схема распределения токов и падений напряжений на элементах интегрирующего звена (б)

Передаточная функция интегрирующего звена представлена следующим выражением [2]:

1.

W (P) = Uвых (Р) = R₂ + CP = РТ₂ + 1,

Uвх (P) R₁ + R₂ + 1 РТ₁ + 1 (1.3.1.)

CP

где Т₁ = (R₁ + R₂) C – постоянная времени интегрирования;

Т = R₂ C – постоянная времени форсирования.

При R₁ >> 1 и R₂ ≤ R₁ имеем

CP

W (P) = PR₂ C + 1 ≈ PT₂ + 1 (1.3.2.)

P (R₁ + R₂) C PT₁

Заменяем оператор Р в передаточной функции (1.3.1.) на оператор фурье iω и разделяем вещественную и мнимые части:

W (iω) = iT₂ω + 1 = T₁ T₂ ω² + 1 -

IT₁ ω + 1 T₁ ²ω² + 1

– i ω (T₁ – T₂) = U (ω) + iV (ω) (1.3.3.)

T₁²ω² + 1

Выражение (1.3.3.) представляет АФЧХ звена. АЧХ получаем по выражению (2) из (1.3.3.):

А (ω) = √U² (ω) + V² (ω) = (ω²T₁T₂ +1)² + (ω(T₁-T₂))² =

√ (T₁²ω² + 1)² (T₁²ω² + 1)²

= √(ω²T₁T₂+1)²+(ω(T₁-T₂))²

T₁²ω² + 1

ФЧХ определяем по выражению (3) из (1.3.3.):

φ (ω) = аrg W (iω) = arctg V (ω) = -arctg ω (T₁-T₂). (1.3.5.)

U (ω) T₁²ω² + 1

ЛАЧХ представляем по выражению (4) из (1.3.4.):

L (ω) = 20 ℓg A(ω) = 20 ℓg√(T₁T₂ ω² +1)²+(ω(T₁-T₂))²- 20 ℓg (T₁²ω² +1) (1.3.6.)

Графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ построены по аналитическим выражениям (1.3.3.), (1.3.6.) c учётом допущений (1.3.2.) и приведены на рис. 1.3.2.

T₂

T₁

0 U A(ω)

φ₁ ω = ∞

ω₁ б)

ω

T₂

T₁

ω = ∞

-iV а) 0 ω

0 ω

-45º

в) -90º

-φ(ω)

L(ω)

г) -20 gd.

дек

0 ω

1

Рис. 1.3.2. Частотные характеристики интегрирующего звена:

а – АФЧХ; б – АЧХ; в – ФЧХ; г – ЛАЧХ

1.4. Колебательное звено

Принципиальная схема колебательного звена приведена на рис. 1.4.1. [2].

Рис. 1.4.1. Принципиальная схема (а) и схема распределения токов и падений напряжений на элементах колебательного звена (б)

Передаточная функция колебательного звена представляется следующим выражением [2]:

1.

W (P) = Uвых (Р) = R₃ + CP. (1.4.1.)

Uвх (P) R₁ + PL · R₂ + R₃ + 1.

RL+R₂ CP

При R₃ << 1, R₁ ≈ R₃ и R₂ >> PL

CP

W (P) ≈ 1, (1.4.2.)

T²P² + 1

Где Т = √LС - постоянная времени колебательного звена.

При R₂ >> PL и R₁ ≈ R₃

W (P) = T₃ P + 1 = TaP + 1, (1.4.3.)

T²P² + (T₁ + T₃) P + 1 T²P² + 2aTP + 1

где Т₁ = R₁ C; T₃ = R₃ C; a = T₁ - коэффициент затухания.

Т

Заменяем оператор Р в передаточной функции (1.4.3.) на оператор Фурье iω и разделяем вещественную и мнимую часть.

W (iω) = iωaT + 1 = (iωaT + 1) (1 – ω²T² – iω2aT) =

-ω² T² + iω2aT + 1 (1 – ω²T² + iω2aT) (1 – ω²T² – iω2aT)

= 1 – ω²T² + 2ω²a²T² – i ωaT (1 + ω²T²) (1.4.4.)

(1 – ω²T²)² + 4ω²a²T² (1 – ω²T²)² + 4ω²a²T²

Выражение (1.4.4.) представляет АФЧХ звена. АЧХ получаем по выражению (2) из (1.4.4.):

А (ω) = √U² (ω) + V² (ω) = √(1 - ω²T² + 2ω²a²T²)² + ω²a²T² (1 + ω²T²)².

(1 – ω²T²)² + 4 ω²a²T²

ФЧХ определяем по выражению (3) из (1.4.4.):

φ (ω) = аrg W (iω) = arctg V (ω) = -arctg ωaT (1+ω²T²) (1.4.6)

U (ω) – ω²T² + 2ω²a²T²

ЛАЧХ представляем по выражению (4) из (1.4.5.).

L (ω) = 20 ℓg A (ω) = 20 ℓg √(1- ω²T²+2ω²a²T²)²+ω²a²T² (1+ω²T²)² –

- 20 ℓg ((1-ω²T²)² + 4ω²a²T²). (1.4.7.)

Графики АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ, построены по аналитическим выражениям (1.4.4.) – (1.4.7.), приведены на рис. 1.4.2.

iV A(ω)

-U ω=0 1

φ i а=0

ω=0 а=0,7

а=1 б) АЧХ

а=0,7 а=1

а) а=0 0 ω

0 а=0 ω

-90º а=1

-iV в)

-180º а=0,7 ФЧХ

φ(ω)

L(ω),

г) gd ₀ а=0 а=0,7 ЛАЧХ

₁ ω

-40 дб

а=0 дек

Рис. 1.4.2. Частотные характеристики колебательного звена:

а – АФЧХ; б – АЧХ; в – ФЧХ, г – ЛАЧХ

2. ПОРЯДОК И МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

2.1. Получить у преподавателя вариант выполнения работы. Варианты работы приведены на рис. 2.1.

2.2. Начертить принципиальную схему типового звена САУ заданного варианта.

2.3. Изобразить на принципиальной схеме распределение падений напряжений на элементах типового звена.

2.4. Записать систему уравнений для изображений по Лапласу входной и выходной величины.

2.5. Найти передаточную функцию звена в общем виде.

2.6. Заменить оператор Лапласа Р в передаточной функции звена на оператор фурье iω и определить аналитическое выражение амплитудно-фазовой характеристики звена при разделении реальной и мнимой части.

2.7. Построить АФЧХ звена.

2.8. Получить аналитическое выражение амплитудно-частотной характеристики звена.

2.9. Построить АЧХ звена.

2.10. Представить аналитическое выражение фазо-частотной характеристики звена.

2.11. Построить ФЧХ звена.

2.12. Определить аналитическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики звена.

2.13. Построить ЛАЧХ звена.

3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

Отчёт должен содержать:

цель работы, вариант задания, принципиальную схему звена САУ, схему распределения падений напряжений на элементах звена, систему уравнений для изображений по Лапласу входной и выходной величины звена, передаточную функцию звена, АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ.

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

4.1. Что называют АФЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ?

4.2. Изобразить на рисунке АФЧХ,АЧХ,ФЧХ и ЛАЧХ типовых звеньев.

4.3. Как влияют постоянные времени на частотные характеристики типовых звеньев?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В.А. Бессекерский и др. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1972.

2. Построение частотных характеристик звеньев систем автоматического управления. Методические указания к практической (самостоятельной) работе / Сост. В.М. Емельянов, А.В. Филонович. ЮЗГУ. Курск, 2012. 15 с.

Рис. 2.1. Варианты заданий:

Если Y(t)=U_вых(t), то R_вых=¥, С_вых=0 и L_вых=0

Если Y(t)=i_вых(t), то R_вых=0, С_вых=0 и L_вых=0