Динамика вращательного движения твердого тела

Вращательное действие силы характеризуется моментом силы относительно точки (рис. 5а) и относительно оси (рис. 5б).

Для того чтобы определить момент силы относительно точки О, проведем из точки О радиус-вектор в точку приложения силы (рис. 5а). Моментом силы относительно точки О называется векторная физическая величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на силу :

Модуль момента силы M = r×F×sina = F×d, где d = r×sina – плечо силы.

Для того чтобы определить момент силы относительно оси Z, выберем на оси Z произвольную точку, найдем момент силы относительно этой точки, а затем спроецируем на ось Z момент силы относительно точки. Таким образом, момент силы относительно оси – величина скалярная.

Разложим силу на три составляющие (рис. 5б):

– осевая, параллельная оси вращения,

– радиальная, перпендикулярная оси вращения,

– касательная, перпендикулярная и оси вращения.

Составляющую можно определить как проекцию силы на направление вектора , направленного по касательной к окружности радиусом R, проведенной через точку приложения силы перпендикулярно оси вращения. Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Составляющие и вращения тела относительно оси Z не вызывают. Вращающее действие силы обусловлено составляющей . Можно показать, что момент силы относительно оси Z

Рис. 5

Инертные свойства тела при вращательном движении характеризует м омент инерции. Он зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси: .

– момент инерции системы материальных точек;

– момент инерции тела, где – плотность тела.

Рис. 6

Момент инерции тела относительно произвольной оси может быть рассчитан по теореме Штейнера: моментинерции тела относительно оси O'O равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной O'O, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 6):

.

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки называется векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора на импульс материальной точки (рис. 7а):

.

Моментом импульса системы материальных точек называется геометрическая сумма моментов импульсов точек, составляющих систему:

.

Моментом импульса материальной точки относительно оси Z называется скалярная величина, равная проекции момента импульса относительно произвольной точки, лежащей на оси Z, на эту ось. Аналогично моменту силы относительно оси, момент импульса относительно оси Z

где p_t – проекция импульса на направление вектора , направленного по касательной к окружности радиусом, проведенной через материальную точку перпендикулярно оси вращения (рис. 7б). Направление вектора образует с осью Z правовинтовую систему.

Рис. 7

Момент импульса тела относительно оси вращения

L_Z = I_Z×w_Z,

где I_Z – момент инерции тела относительно оси Z, w_Z – проекция угловой скорости тела на ось Z. Для однородного тела, вращающегося относительно оси симметрии:

.

Основной закон динамики вращательного движения:

Скорость изменения момента импульса тела относительно оси равна результирующему моменту внешних сил относительно этой же оси (проекция углового ускорения на ось пропорциональна результирующему моменту внешних сил относительно оси и обратно пропорциональна моменту инерции тела относительно этой же оси):

Из законов динамики поступательного и вращательного движений следует условие равновесия тел: