Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Обобщённые формулировки ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4 Доказательство теоремы Гёделя обычно проводят для конкретной формальной системы (не обязательно одной и той же), соответственно утверждение теоремы оказывается доказанным только для одной этой системы. Исследование достаточных условий, которым должна удовлетворять формальная система для того, чтобы можно было провести доказательство её неполноты, приводит к обобщениям теоремы на широкий класс формальных систем. Пример обобщённой формулировки: Всякая достаточно сильная рекурсивно аксиоматизируемая непротиворечивая теория первого порядка неполна. В частности, теорема Гёделя справедлива для каждого непротиворечивого конечно аксиоматизируемого расширения арифметической формальной системы S. Полиномиальная форма После того, как Юрий Матиясевич доказал диофантовость любого эффективно перечислимого множества и были найдены примеры универсальных диофантовых уравнений, появилась возможность сформулировать теорему о неполноте в полиномиальной (или диофантовой) форме: Для каждой непротиворечивой теории T можно указать такое целое значение параметра K, что уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах, но этот факт не может быть доказан в теории T. Более того, для каждой непротиворечивой теории множество значений параметра K, обладающих таким свойством, бесконечно и алгоритмически неперечислимо. Степень данного уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных. Набросок доказательства В своей статье Гёдель даёт набросок основных идей доказательства, который приведён ниже с незначительными изменениями. Каждому примитивному символу, выражению и последовательности выражений некоторой формальной системы S поставим в соответствие определённое натуральное число. Математические понятия и утверждения таким образом становятся понятиями и утверждениями о натуральных числах, и, следовательно, сами могут быть выражены в символизме системы S. Можно показать, в частности, что понятия «формула», «вывод», «выводимая формула» определимы внутри системы S, то есть можно восстановить, например, формулу F (v) в S с одной свободной натурально-числовой переменной v такую, что F (v), в интуитивной интерпретации, означает: v — выводимая формула. Теперь построим неразрешимое предложение системы S, то есть предложение A, для которого ни A, ни не-A невыводимы, следующим образом: Формулу в S с точно одной свободной натурально-числовой переменной назовём класс-выражением. Упорядочим класс-выражения в последовательность каким-либо образом, обозначим n -е через R (n), и заметим, что понятие «класс-выражение», также как и отношение упорядочения R можно определить в системе S. Пусть α — произвольное класс-выражение; через [α; n ] обозначим формулу, которая образуется из класс-выражения α заменой свободной переменной на символ натурального числа n. Тернарное отношение x = [ y; z ] тоже оказывается определимым в S. Теперь определим класс K натуральных чисел следующим образом: n ∈ K ≡ Bew[ R (n); n ] (*) (где Bew x означает: x — выводимая формула). Так как все определяющие понятия из этого определения можно выразить в S, то это же верно и для понятия K, которое из них построено, то есть имеется такое класс-выражение C, что формула [ C; n ], интуитивно интерпретируемая, обозначает, что натуральное число n принадлежит K. Как класс-выражение, C идентично некоторому определённому R (q) в нашей нумерации, то есть C = R (q) выполняется для некоторого определённого натурального числа q. Теперь покажем, что предложение [ R (q); q ] неразрешимо в S. Так, если предложение [ R (q); q ] предполагается выводимым, тогда оно оказывается истинным, то есть, в соответствии со сказанным выше, q будет принадлежать K, то есть, в соответствии с (*), будет выполнено Bew[ R (q); q ], что противоречит нашему предположению. С другой стороны, если предположить выводимым отрицание [ R (q); q ], то будет иметь место q ∈ K, то есть Bew[ R (q); q ] будет истинным. Следовательно, [ R (q); q ] вместе со своим отрицанием будет выводимо, что снова невозможно. Связь с парадоксами В стандартной интерпретации гёделева неразрешимая формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в системе S. Таким образом, A является аналогом парадокса лжеца. Рассуждения Гёделя в целом очень похожи на парадокс Ришара. Более того, для доказательства существования невыводимых утверждений может быть использован любой семантический парадокс. Следует отметить, что выражаемое формулой A утверждение не содержит порочного круга, поскольку изначально утверждается только, что некоторая конкретная формула, явную запись которой получить несложно (хоть и громоздко), недоказуема. «Только впоследствии (и, так сказать, по воле случая) оказывается, что эта формула в точности та, которой выражено само это утверждение». Вторая теорема Гёделя В формальной арифметике S можно построить такую формулу, которая в стандартной интерпретации является истинной в том и только в том случае, когда теория S непротиворечива. Для этой формулы справедливо утверждение второй теоремы Гёделя: Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S. Иными словами, непротиворечивость формальной арифметики не может быть доказана средствами этой теории. Однако, могут существовать доказательства непротиворечивости формальной арифметики, использующие средства, невыразимые в ней.
|