Мысль есть осмысленное предложение

4. 001. Совокупность предложений есть язык.

4. 002. Человек обладает способностью строить язык, в котором можно выразить любой смысл, не имея представления о том, как и что означает каждое слово, – так же как люди говорят, не зная, как образовывались отдельные звуки. Разговорный язык есть часть человеческого организма, и он не менее сложен, чем этот организм. Для человека невозможно непосредственно вывести логику языка. Язык переодевает мысли. И притом так, что по внешней форме этой одежды нельзя заключить о форме переодетой мысли, ибо внешняя форма одежды образуется совсем не для того, чтобы обнаруживать форму тела. Молчаливые соглашения для понимания разговорного языка чрезмерно усложнены.

4. 003. Большинство предложений и вопросов, высказанных по поводу философских проблем, не ложны, а бессмысленны. Поэтому мы вообще не можем отвечать на такого рода вопросы, мы можем только установить их бессмысленность. Большинство вопросов и предложений философов вытекает из того, что мы не понимаем логики нашего языка. (Они относятся к такого рода вопросам, как: является ли добро более или менее тождественным, чем красота?) И не удивительно, что самые глубочайшие проблемы на самом деле не есть проблемы.

4. 0031. Вся философия есть «критика языка» (правда, не в смысле Маутнера). Заслуга Рассела как раз в том, что он сумел показать, что кажущаяся логическая фор ма предложения не должна быть его действительной формой.

4. 01. Предложение-образ действительности. Предложение – модель действительности, как мы ее себе мыслим.

4. 011. На первый взгляд, по-видимому, предложение-например, как оно напечатано на бумаге-не является образом действительности, о которой оно говорит. Но ведь и ноты тоже не кажутся на первый взгляд образом музыки, и наши фонетические знаки (буквы) не кажутся образом нашей устной речи. И все же эти символики даже в обычном смысле слова оказываются образами того, что они изображают.

4. 012. Очевидно, что предложение формы «aRb» мы воспринимаем как образ. Здесь, очевидно, знак есть подобие обозначаемого.

4. 013. И если мы проникнем в сущность этой образности, то увидим, что она не нарушается кажущимися нерегулярностями. Потому что эти нерегулярности тоже отражают то, что они должны выразить; но только другим способом.

4. 014. Граммофонная пластинка, музыкальная мысль, партитура, звуковые волны – все это стоит друг к другу в том же внутреннем образном отношении, какое существует между языком и миром. Все они имеют общую логическую структуру. (Как в сказке о двух юношах, их лошадях и их лилиях. Они все в некотором смысле одно и то же.)

4. 0141. В том, что есть общее правило, благодаря которому музыкант может извлекать из партитуры симфонию, благодаря которому можно воспроизвести симфонию из линий на граммофонной пластинке и – по первому правилу – снова воспроизвести партитуру, – в этом заключается внутреннее сходство этих, казалось бы, совершенно различных явлений. И это правило есть закон проекции, который проектирует симфонию в языке нот. Оно есть правило перевода языка нот в язык граммофонной пластинки.

4: 015. Возможность всех подобий, всей образности нашего способа выражения, основана на логике отображения.

4. 016. Для того чтобы понять сущность предложения, вспомним иероглифическое письмо, изображающее факты, которые оно описывает. И из него, не теряя существа отображения, возникло буквенное письмо.

4. 02. Это мы видим из того, что мы понимаем смысл пропозиционального знака без того, чтобы он был нам объяснен.

4. 021. Предложение есть образ действительности, потому что я знаю представленное им положение вещей, если я понимаю данное предложение. И я понимаю предложение без того, чтобы мне был объяснен его смысл.

4. 022. Предложение показывает свой смысл. Предложение показывает, как обстоит дело, если оно истинно. И оно говорит, что дело обстоит так.

4. 023. Предложение должно определять действительность до такой степени, чтобы достаточно было сказать «Да». или «Нет», для приведения его в соответствие с действительностью. Для этого действительность должна полностью описываться им. Предложение есть описание атомарного факта. Как описание объекта описывает его по его внешним свойствам, так предложение описывает действительность по ее внутренним свойствам. Предложение конструирует мир с помощью логических строительных лесов, поэтому в предложении можно также видеть, как обстоит дело со всем логическим, когда это предложение истинно. Можно делать выводы из ложного предложения.

4. 024. Понять предложение – значит знать, что имеет место, когда оно истинно. (Следовательно, можно его понимать, не зная, истинно оно или нет.) Предложение понято, если поняты его составные части.

4. 025. Перевод одного языка в другой происходит не так, что каждое предложение одного языка переводится а предложение другого; переводятся только составные части предложения. (И в словаре переводятся не только существительные, но и глаголы, прилагательные, союзы и т. д.; и они все трактуются одинаково.)

4. 026. Значения простых знаков (слов) должны быть нам объяснены, чтобы мы их поняли. По мы объясняемся при помощи предложений.

4. 027. Для предложения существенно то, что оно может сообщать нам новый смысл.

4. 03. Предложение должно в старых выражениях сообщать нам новый смысл. Предложение сообщает нам положение вещей, следовательно, оно должно быть существенно связано с этим положением вещей. И связь состоит именно в том, что оно является логическим образом этого положения вещей. Предложение высказывает нечто лишь постольку, поскольку оно есть образ.

4. 031. В предложении положение вещей составляется как бы ради пробы. Вместо: это предложение имеет такой-то и такой-то смысл, можно – просто говорить: это предложение изображает такое-то и такое-то положение вещей.

4. 0311. Одно имя представляет один предмет, другое имя – другой предмет, и они связаны друг с другом. И целое – как живой образ – изображает атомарный факт.

4. 0312. Возможность предложения основывается на принципе замещения объектов знаками. Моя основная мысль заключается в том, что «логические постоянные» ничего не представляют, что логика фактов не может быть/представлена.

4. 032. Предложение лишь постольку является образом положения вещей, поскольку оно логически расчленимо. (Предложение «ambulo» тоже является составным, потому что его основа имеет другой смысл с другим окончанием, а его окончание – с другой основой.)

4. 04. В предложении должно быть в точности столько различимых частей, сколько их есть в положении вещей, которое оно изображает. Оба должны обладать одинаковой логической (математической) множественностью. (Ср. механику Герца о динамических моделях.)

4. 041. Эта математическая множественность, естественно, не может быть в свою очередь отображена. При отображении невозможно выйти за ее пределы,

4. 0411. Если бы мы захотели, например, то, что мы выражаем через «(x) fx», выразить через замену индекса перед fx, например, так: «(общее) fx»; – это было бы неудовлетворительно: мы не знали бы, что обобщалось. Если бы мы захотели показать это через индекс «g», например, так: «f (x_g) «, то это также было бы неудовлетворительным: мы не знали бы область обобщения. Если бы мы попытались разрешить это введением. некоторого знака на места аргумента, например, так: «(G, G) * F (G, G) «, – это было бы неудовлетворительным: мы не смогли бы установить тождество переменных. И так далее. Все эти способы символизации неудовлетворительны, так как они не имеют необходимой математической множественности.

4. 0412. По этой же причине неудовлетворительно и идеалистическое объяснение виденья пространственных отношений через «пространственные очки», потому что оно не может объяснить множественности этих отношений.

4. 05. Действительность сравнивается с предложением.

4. 06. Истинным или ложным предложение может быть, только будучи образом действительности.

4. 061. Если не замечать, что предложение имеет смысл, независимый от фактов, то можно легко поверить, что истинное и ложное – равноправные отношения между знаками и обозначаемым. Тогда можно было бы сказать, например, что «р» обозначает истинным образом то, что «~р» обозначает ложным образом, и т. д.

4. 062. Нельзя ли объясняться с помощью ложных предложений так же, как до этого с помощью истинных, поскольку известно, что они мыслятся ложными? Нет! Потому что предложение истинно, если то, что в нем утверждается, имеет место; и если мы под «p» имеем в виду «~p», и то, что мы имеем в виду, имеет место, то «p» в новом понимании истинно, а не ложно.

4. 0621. Но важно то, что знаки «р» и «~р» могут выражать одно и то же, так как это показывает, что знаку «~» в действительности ничто не соответствует. То, что в предложении встречается отрицание, еще не характеризует его смысла (~~ p = р). Предложения «р» и «~р» имеют взаимнопротивоположный смысл, но им соответствует одна и та же действительность.

4. 063. Иллюстрация для разъяснения понятия истинности: черное пятно на белой бумаге; можно описать форму пятна, указывая для каждой точки поверхности, является ли она белой или черной. Факту, что точка черная, соответствует положительный факт, факту, что точка белая (не черная), – отрицательный факт. Если я укажу точку поверхности (по терминологии Фреге – значение истинности), то это соответствует предположению, выдвигаемому на обсуждение, и т. д. Но для того, чтобы можно было сказать, является ли точка черной или белой, я должен прежде всего знать, когда можно назвать точку черной и когда белой; чтобы можно было сказать, что «jo» истинно (или ложно), я должен определить, три каких обстоятельствах я называю «р» истинным, и тем самым я определяю смысл предложения.» Аналогия [нарушается в следующем пункте: мы можем указать точку на бумаге, даже не зная, что такое черное и белое, но предложению без смысла вообще ничего не соответствует, так как оно не обозначает никакого предмета (значения истинности), свойства которого называются, например, «ложью» или «истиной». Глагол предложения не есть «истинно» или «ложно» – как думал Фреге, – но то, что «истинно», должно уже содержать глагол.

4. 064. Каждое предложение должно уже иметь некоторый смысл; утверждение не может придать ему смысл, потому что оно утверждает именно смысл. То же самое относится и к отрицанию.

4. 0641. Могли бы сказать: отрицание уже связывается с логическим местом, которое определяется отрицаемым предложением. Отрицающее предложение определяет не то логическое место, которое определяет отрицаемое предложение. Отрицающее предложение определяет логическое место с помощью логического места отрицаемого предложения описывая первое как лежащее вне последнего. Сам факт, что отрицаемое предложение может снова отрицаться, показывает, что то, что отрицается, уже является предложением, а. не только предварением предложения.

4. 1. Предложение изображает существование и несуществование атомарных фактов.

4. 11. Совокупность всех истинных предложений есть все естествознание (или совокупность всех естественных наук).

4. 111. Философия не является одной из естественных наук. (Слово «философия» должно означать что-то стоящее над или под, но не наряду с естественными науками.)

4. 112. Цель философии – логическое прояснение мыслей. Философия не теория, а деятельность. Философская работа состоит по существу из разъяснений. Результат философии – не некоторое количество «философских предложений», но прояснение предложений. Философия должна прояснять и строго разграничивать мысли, которые без этого являются как бы темными и расплывчатыми.

4. 1121. Психология не ближе к философии, чем любая другая естественная наука. Теория познания есть философия психологии. Не соответствует ли мое изучение знакового языка изучению мыслительного процесса, который философы считали таким существенным для философии логики? Только они запутались большей частью в несущественных психологических исследованиях, и аналогичная опасность грозит и моему методу.

4. 1122. Дарвиновская теория имеет не больше отношения к философии, чем любая другая естественно-научная гипотеза.

4. 113. Философия ограничивает спорную область естествознания.

4. 114. Она должна ставить границу мыслимому и тем самым немыслимому. Она должна ограничивать немыслимое изнутри через мыслимое.

4. 115. Она означает то, что не может быть сказано, ясно показывая то, что может быть сказано.

4. 116. Все то, что вообще может быть мыслимо, должно быть ясно мыслимо. Все то, что может быть сказано, должно быть ясно сказано.

4. 12. Предложения могут изображать всю действительность, но они не могут изображать то, что они должны иметь общим с действительностью, чтобы быть способными ее изображать, – логическую форму. Для того чтобы можно было изображать логическую форму, мы должны были бы быть в состоянии поставить себя вместе с предложениями вне логики, то есть вне мира.

4. 121. Предложения не могут изображать логическую форму, она отражается в них. Язык не может изображать то, что само отражается в языке. Мы не можем выразить языком то, что само выражается в языке. Предложение показывает логическую форму действительности. Оно выявляет ее.

4. 1211. Так, предложение «fа» показывает, что в его смысл входит объект «fа»; два предложения «fа» и «ga» показывают, что в них обоих речь идет об одном и том же объекте. Если два предложения противоречат друг другу, то это обнаруживается в их структуре; точно так же, если одно следует из другого. И так далее.

4. 1212. То, что может быть показано, не может быть сказано.

4. 1213. Теперь нам понятно, почему мы чувствуем, что мы владеем правильным логическим пониманием, если только все правильно в нашей символике.

4. 122; «Мы можем говорить в некотором смысле о формальных свойствах объектов и атомарных фактов или о свойствах структуры фактов, и в этом же смысле- о формальных отношениях и отношениях структур. (Вместо «свойство структуры» я также говорю «внутреннее свойство»; вместо «отношения структур» – «внутреннее отношение». Я привожу эти выражения, „чтобы показать причину очень распространенного у философов смешения внутренних отношений и собственно (внешних) отношений.) Существование подобных внутренних свойств и отношений не может, однако, утверждаться предложениями, но оно проявляется в предложениях, которые изображают факты и говорят о рассматриваемых объектах.

4. 1221. Внутреннее свойство факта мы можем также назвать чертой этого факта. (В том смысле, в каком мы, например, говорим о чертах лица.)

4. 123. Свойство является внутренним, если немыслимо, что его объект им не обладает.

(Этот голубой цвет и тот стоят ео ipso (тем самым) во внутреннем отношении более светлого и более темного. Немыслимо, чтобы эти два объекта не стояли в этом отношении друг к другу.) (Здесь неопределенному употреблению слов «свойство» и «отношение» соответствует неопределенное употребление слова «объект».)

4. 124. Существование внутреннего свойства возможного положения вещей не выражается предложением, но оно выражает себя в предложении, изображающем это положение вещей, посредством внутреннего свойства данного предложения. Приписывать предложению формальное свойство так же бессмысленно, как и отрицать у него это формальное свойство.

4. 1241. Нельзя различать формы друг от друга, говоря, что одна форма имеет это свойство, а другая – то, так как это предполагает, что имеется смысл в утверждении любого свойства любой из этих форм.

4. 125. Существование внутреннего отношения между возможными положениями вещей выражается в языке внутренним отношением между предложениями, которые их изображают.

4. 1251. Здесь окончательно разрешается спорный вопрос – «являются ли все отношения внутренними или внешними».

4. 1252. Ряды, упорядоченные внутренними отношениями, я называю формальными рядами. Числовой ряд упорядочен не внешним, а внутренним отношением. Точно так же и ряд предложений «aRb».» ($x): aRx • xRb» « ($x, у): aRx • xRy • yRb», и т. д. (Если «b» стоит в одном из таких отношений к «а», то я называю «b» следующим за «а».)

4. 126. В том смысле, в каком мы говорим о формальных свойствах, мы можем теперь говорить и о формальных понятиях. (Я ввожу это выражение, чтобы сделать ясной причину смешения формальных понятий с собственно понятиями, которое пронизывает всю старую логику.) Тот факт, что нечто подводится под формальное понятие, как его объект, де может быть выражен предложением. Но это обнаруживается в знаке самого этого объекта. (Имя показывает, что оно обозначает объект, знак числа-что он обозначает число, и так далее.) Формальные понятия не могут, как собственно понятия, изображаться функцией. Потому что их признаки, формальные свойства, не выражаются функциями. Выражение формального свойства есть черта определенного символа. Знак, обозначающий признак формального понятия, является, следовательно, характерной чертой всех символов, значения которых подводятся под это понятие. Следовательно, выражение формального понятия есть пропозициональная переменная, в которой постоянным является только эта характерная черта.

4. 127. Эта пропозициональная переменная обозначает формальное понятие, а ее значения обозначают те объекты, которые подходят под это понятие.

4. 1271. Каждая переменная есть знак формального понятия. Потому что каждая переменная представляет постоянную форму, которой обладают все ее значения и которая может пониматься как формальное свойство этих значений.

4. 1272. Так, переменное имя «x» есть собственно знак псевдопонятия объект. Там, где всегда правильно употребляется слово «объект» («предмет», «вещь» и т. д.), оно выражается в логической символике через переменные имена. Например, в предложении: «имеется два объекта, которые...» через ($x, y)...» Там же, где оно употребляется иначе, т. е. как собственно понятийное слово, возникают бессмысленные псевдопредложения. Так, например, нельзя сказать: «имеются объекты», как говорят «имеются книги». И также нельзя говорить: «имеется 100 объектов» или «имеется К объектов». И вообще бессмысленно говорить о количестве всех объектов. Это же относится и к словам «комплекс», «факт», «функция», «число» и так далее. Все они обозначают формальные понятия и изображаются в логической символике переменными, а не функциями или классами (как думали Фреге и Рассел). Такие выражения, как «1 есть число», «есть только один нуль», и все им подобные бессмысленны. (Говорить «есть только одна единица» так же бессмысленно, как было бы бессмысленно сказать: 2 + 2 в 3 часа равно 4.)

4. 12721. Формальное понятие уже дано с объектом, который подводится под него. Следовательно, нельзя вводить объекты формального понятия и само формальное понятие как исходные (die Grund begriffe) понятия. Следовательно, нельзя вводить в качестве исходных понятий, например, понятие функции. и одновременно конкретные функции (как делал Рассел) или понятие числа и одновременно определенные числа.

4. 1273. Если мы хотим выразить в логической символике общее предложение «b следует за а», то для этого мы употребляем выражение для общего члена формального ряда:

aRb, ($x): aRx. xRb, ($x, у): aRx xRy yRb,...

Общий член формального ряда можно выразить только переменной, так как понятие: «член этого формального ряда» является формальным понятием. (Это просмотрели Фреге и Рассел; способ, каким они хотели выразить общие предложения, такие, как, например, вышеприведенные, был поэтому ложным; он содержал circulus vitiosus (порочный круг). Мы можем определить общий член формального ряда, давая его первый член и общую форму операции, которая образует последующий член из предыдущего предложения.

4. 1274. Вопрос о существовании формального понятия бессмыслен. Потому что ни одно предложение не может ответить на такой вопрос (например, нельзя спрашивать: «Есть ли неанализируемые» субъектно-предикатные предложения (Subjekt-Pradikatsatze)?

4. 128. Логические формы нечисленны. Поэтому в логике нет каких-либо привилегированных чисел и поэтому нет никакого философского монизма или дуализма и т. д.

4. 2. Смысл предложения есть его согласование или несогласование с возможностями существования и несуществования атомарных фактов.

4. 21. Простейшее предложение, элементарное предложение, утверждает существование атомарного факта.

4. 211. Признаком элементарного предложения является то, что ни одно элементарное предложение не может ему противоречить.

4. 22. Элементарное предложение состоит из имен. Оно есть связь, сцепление имен.

4. 221. Очевидно, что при анализе предложений мы должны доходить до элементарных предложений, которые состоят из непосредственной связи имен. Здесь встает вопрос: как возникает пропозициональная связь?

4. 2211. Даже если мир бесконечно сложен, так что каждый факт состоит из бесконечного числа атомарных фактов и каждый атомарный факт из бесконечного числа объектов, – даже тогда должны быть даны объекты и атомарные факты.

4. 23. Имя выступает в предложении только в контексте элементарного предложения.

4. 24. Имена суть простые символы; я обозначаю их отдельными буквами («x», «y», «z»). Элементарное предложение я пишу как функцию имен в форме «fx», «Ф (х, у)» и т. д. Или я обозначаю его буквами р, q, r.

4. 241. Если я употребляю два знака с одним и тем же значением, то я выражаю это, ставя между ними знак «=«. Следовательно, «о == &» означает: знак «а» заменим знаком «b». (Если я ввожу с помощью уравнения некоторый новый знак, определяя, что он должен заменить первоначальный известный знак «а», то я пишу уравнение – определение – (как Рассел) в форме «а =b Def. «. Определение есть символическое правило.)

4. 242. Следовательно, выражения формы «а = b » являются только средством изображения; они ничего не говорят о значениях знаков «а», «b».

4. 243. Можем ли мы понять два имени, не зная, обозначают ли они одну и ту же вещь или две различные вещи? Можем ли мы понять предложение, в которое входят эти два имени,. не зная, обозначают ли они одну и ту же или различные вещи? Если я, например, знаю значение английского и значение синонимичного ему немецкого слова, то я не смогу не знать, что они синонимы; невозможно, чтобы я не мог перевести их одно в другое. Выражение вида а == с или выведенные из них не являются ни элементарными предложениями, ни другими осмысленными знаками. (Это будет показано ниже.)

4. 25. Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.

4. 26. Указание всех истинных элементарных предложений полностью описывает мир. Мир полностью описывается указанием всех элементарных предложений вместе с указанием того, какие из них истинны, а какие ложны.

4. 27. Относительно существования и несуществования п атомарных фактов имеется возможностей. Могут существовать все комбинации атомарных фактов, и, кроме них, другие комбинации существовать не могут.

4. 28. Этим комбинациям соответствует такое же число возможностей истинности и ложности п элементарных предложений.

4. 3. Возможности истинности элементарных предложений означают возможности существования и несуществования атомарных фактов.

4. 31. Возможности истинности можно изобразить схемами следующего вида («И» означает «истинно», «Л» – «ложно». Строчки значений «И» и «Л» под строчками элементарных предложений означают в легко понимаемой символике их возможности истинности).

4. 4. Предложение есть выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений.

4. 41. Возможности истинности элементарных предложений есть условия истинности и ложности предложений.

4. 411. С первого же взгляда кажется вероятным, что введение элементарных предложений является основополагающим для понимания всех других видов предложения. Действительно, понимание общих предложений весьма ощутимо зависит от понимания элементарных предложений.

4. 42. Относительно согласования и несогласования предложения с возможностями истинности п элементарных предложений имеется возможностей.

4. 43 Согласование возможностей истинности мы можем выразить, соотнося с ними насхеме знак «И». Отсутствие этогознака означает несогласование.

4. 431. Выражение согласования и несогласования с возможностями истинности элементарных предложений выражает условия истинности предложения. Предложение есть выражение своих условий истинности. (Фреге поэтому совершенно правильно помещал их вначале, как объяснение знаков своей логической символики. Только его объяснение понятия истинности ложно: если бы «истинное» и «ложное» были действительно объектами и аргументами в выражениях ~р и т. д., тогда смысл ~р отнюдь еще не устанавливался бы определением Фреге.).

4. 44. Знак, возникающий из соотнесения знака «Я» с возможностями истинности, есть пропозициональный знак.

4. 441. Ясно, что комплексу знаков «Л» и «И» не соответствует никакой объект (или комплекс объектов); не более-чем горизонтальными вертикальным линиям или скобкам соответствуют какие-либо объекты. Не существует «логических объектов». Аналогично, конечно, и для всех знаков, выражающих то же самое, что и схемы «И» и «Л».

4. 442. Так, например: («Знак утверждения» Фреге «/-» логически полностью бессмыслен; он только указывает у Фреге (и у Рассела), что эти авторы считают отмеченные им предложения истинными. Поэтому «/-» является частью соединения предложений не более, чем, например, номер предложения. Предложение не может утверждать о самом себе, что оно истинно.) Если последовательность возможностей истинности в схеме устанавливается правилом комбинации раз и навсегда, тогда уже одна последняя колонка является выражением условий истинности. Если мы напишем эту колонку в строчку, то пропозициональный знак будет: «(ИИ-И} (р, q)» или еще яснее: «(ИИЛИ) (р, q)». (Количество мест в левых скобках определяется количеством членов в правых.)

4. 45. Для «n» элементарных предложений имеется L_nвозможных групп условий истинности. Группы условий истинности, принадлежащие к возможностям истинности некоторого числа элементарных предложений, могут упорядочиваться в ряд.

4. 46. Среди возможных групп условий истинности имеется два предельных случая. В первом случае предложение истинно для всех возможностей истинности элементарного предложения. Мы говорим, что условия истинности тавтологичны. Во втором случае предложение ложно для всех возможностей истинности. Условия истинности противоречивы. В первом случае мы называем предложение тавтологией, во втором – противоречием.

4. 461. Предложение показывает то, что оно говорит, тавтология и противоречие показывают, что они ничего не говорят. Тавтология не имеет условий истинности, потому что она безусловно истинна; а противоречие ни при каких условиях не истинно. Тавтология и противоречие не имеют смысла. (Как точка, из которой две стрелки расходятся в противоположных направлениях.) (Я не знаю, например, ничего о погоде, если я знаю, что дождь идет или что дождь не идет.)

4. 4611. Но тавтология и противоречие не являются бессмысленными, они являются частью символизма, подобно тому как «О» есть часть символизма арифметики.

4. 462. Тавтология и противоречие-не образы действительности. Они не изображают никакого возможного положения вещей, поскольку первая допускает любое возможное положение вещей, а второе не допускает никакого. В тавтологии условия соответствия с миром – отношения изображения-взаимно аннулируются, так что они не стоят ни в каком отношении изображения к действительности.

4. 463. Условия истинности определяют область, которую предложение оставляет факту. (Предложение, образ, модель напоминают в отрицательном смысле твердое тело, которое ограничивает свободу движения другого; в положительном смысле- пространство, ограниченное твердой субстанцией, в котором помещается тело.) Тавтология оставляет действительности все бесконечное логическое пространство, противоречие заполняет все логическое пространство и. ничего не оставляет действительности. Поэтому ни одно из них не может каким-либо образом определить действительность.

4. 464. Истинность тавтологии несомненна; предложение возможно, противоречие невозможно. (Несомненно, возможно, невозможно: здесь мы имеем указание той градации, которую мы употребляем в теории вероятностей.)

4. 465. Логическое произведение тавтологии и предложения говорит то же самое, что и предложение. Следовательно, это произведение тождественно с этим предложением. Потому что нельзя изменить существа символа, не изменяя его смысла.

4. 466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Любая, же произвольная комбинация соответствует только несвязанным знакам. Это означает, что предложения, которые истины для любого положения вещей, вообще не могут быть никакими комбинациями знаков, так как иначе им могли бы соответствовать только определенные комбинации объектов. (И нет такой логической комбинации, которой не соответствует никакая комбинация объектов.) Тавтология и противоречие являются предельными случаями комбинации знаков, а именно – их исчезновением.

4. 4661. Разумеется, и в тавтологии, и в противоречии знаки также сочетаются друг с другом, т. е. они относятся друг к другу, но эти отношения незначимы, несущественны для символа.

4. 5. Теперь, кажется, можно дать самую общую форму предложения, т. е. дать описание предложений некоторого знакового языка, так чтобы каждый возможный смысл мог выражаться символом, который подходит под это описание,. и так чтобы каждый символ, подходящий под это описание, мог выражать смысл, если соответствующим образом будут выбраны значения имен. Ясно, что при описании самой общей формы предложения может быть описано только ее существо – иначе она не была бы собственно самой общей формой. То, что имеется общая форма предложения, доказывается тем, что не может быть ни одного предложения, чью форму нельзя было бы предвидеть (т. е. сконструировать). Общая форма предложения такова: «дело обстоит так-то и так-то».

4. 51. Предположим, мне даны все элементарные предложения; тогда можно просто спросить: какие предложения я могу построить из них? И это – все предложения, и так они ограничиваются.

4. 52. Предложениями является все то, что следует из совокупности всех элементарных предложений конечно, также и из того, что это есть совокупность их всех}. (Так, можно, в известном смысле, сказать- что все предложения – обобщения элементарных предложений.)

4. 53. Общая форма предложения есть переменная.

5. Предложение есть функция истинности элементарных предложений. (Элементарное. предложение – функция истинности самого себя.)

5. 01. Элементарные предложения-аргументы истинности предложения.

5. 02. Само собой напрашивается смешение аргументов функции с индексами имен. Я узнаю значение знака настолько же из его аргумента, насколько и из его индекса. В расселовском +с, например, «с» есть индекс, указывающий на то, что весь знак есть знак сложения количественных чисел. Но этот способ символизации основывается на произвольном соглашения, и можно было вместо +с выбрать другой простой знак, но в выражении «~р» «р» – не индекс, а аргумент: смысл выражения «~р» не может быть понят, если до этого не понят смысл «р». (В имени Юлий Цезарь «Юлий» есть индекс. Индекс всегда является частью описания объекта, к имени которого мы его присоединяем. Например, Цезарь из рода Юлиев.) Смешение аргумента и индекса, если я не ошибаюсь, лежит в основе теории Фреге о значении предложений и функций. Для Фреге предложения логики были именами, а их аргументы – индексами этих имен.

5. 1. Функции истинности можно упорядочивать в ряд. Это есть основоположение теории вероятностей.

5. 101. Функции истинности каждого определенного количества элементарных предложений могут быть написаны в схеме следующего вида. Те возможности истинности аргументов истинности этой схемы, которые подтверждают предложение, я буду называть основаниями истинности.

5. 11. Если основания истинности, общие для некоторого количества предложений, представляют – в то же время основания истинности некоторого определенного предложения, то мы говорим, что истинность этого предложения следует из истинности упомянутых предложений.

5. 12. В частности, истинность предложения «p» следует из истинности другого – «q», если все основания истинности второго являются основаниями истинности первого.

5. 121. Основания истинности одного содержатся в основаниях истинности другого; р следует из q.

5. 122. Если р следует из q, то смысл «р» содержится в смысле «q».

5. 123. Если бог создает мир, в котором истинны некоторые определенные предложения, то он тем самым создает мир, в котором верны предложения, следующие из них. И подобно этому, он не мог бы создавать такого мира, в котором предложение «р» было бы истинно, не создавая всей совокупности его объектов.

5. 124. Предложение утверждает каждое предложение, следующее из него.

5. 1241. «p. q» есть одно из тех предложений, которые утверждают «р» и которые в то же время утверждают «q». Два предложения друг другу противоположны, если нет осмысленного предложения, которое утверждает их обоих. Каждое предложение, которое противоречит другому, отрицает его.

5. 13. Тот факт, что истинность одного предложения следует из истинности других предложений, мы усматриваем из структуры предложений.

5. 131. Если истинность одного предложения следует из истинности других, то это выражается теми отношениями, в которых находятся между собой формы этих предложений; и мы не нуждаемся в том, чтобы ставить их в эти отношения, связывая предварительно друг с другом в одно предложение, так как эти связи являются внутренними и существуют постольку, и лишь постольку, поскольку существуют эти предложения.

5. 1311. Если мы заключаем от р V q и ~р к q, то отношение между формами предложений «p\/q» и «~р» здесь затемняется способом обозначения. Но если мы, например, вместо «pVq» напишем «р / q – /- р / q и вместо «~р» – «~p/р» (р/q==ни р, ни q), тo внутренняя связь станет очевидной. (Тот факт, что можно заключить от (x) fx к fa, показывает, что общность существует также и в символе «(x) fx».)

5. 132. Если р следует из q, то я могу заключить от q к р; вывести р из q. Способ вывода всегда познается из обоих предложений. Только они могут оправдывать вывод. «Законы вывода», которые должны – как у Фреге и Рассела – оправдывать выводы, не имеют смысла и были бы излишни.

5. 133. Все выводы происходят априори.

5. 134. Из одного элементарного предложения не может следовать никакое другое.

5. 135. Никаким образом нельзя заключать из существования какого-либо одного положения вещей о существовании другого, полностью отличного от первого.

5. 136. Нет причинной связи, которая оправдывает подобный вывод.

5. 1361. События будущего не могут выводиться из событий настоящего. Вера в причинную связь есть предрассудок.

5. 1362. Свобода воли состоит в том, что будущие действия сейчас не могут быть познаны. Мы могли бы их знать только в том случае, если причинность была бы внутренней, необходимостью, как и необходимость логического вывода. Связь здания и познанного есть связь логической необходимости. («А знает, что р имеет место» не имеет смысла, если р есть тавтология.)

5. 1363. Если из того, что предложение для нас очевидно, не следует, что оно истинно, то очевидность также не является оправданием для нашей веры в его истинность.

5. 14. Если какое-либо предложение следует из другого, то последнее говорит больше, чем первое; первое меньше, чем последнее.

5. 141. Если р следует из q и q из р, то они являются одним и тем же предложением.

5. 142. Тавтология следует из всех предложений: она ничего не говорит.

5. 143. Противоречие есть то общее у предложений, что ни одно предложение не имеет общим с другими. Тавтология есть общее всех тех предложений, которые не имеют друг с другом ничего общего. Противоречие исчезает, так сказать, вне всех предложений, тавтология – внутри них. Противоречие есть внешняя граница предложений, тавтология – их лишенный субстанции центр.

5. 15. Если И_r – количество оснований истинности предложения «r», а И_rs – количество тех оснований истинности предложения «s», которые одновременно являются основаниями истинности «r», то мы назовем отношение И_rs: И_r мерой вероятности, которую предложение «r» дает предложению «s».

5. 151. Пусть в схеме, подобной той, которая приведена выше за № 5. 101, И_{r –} количество «И» в предложении «r»; И_rs – количество тех «И» в предложении s, которые стоят в одинаковых столбцах с «И» предложения r. Тогда предложение «r «дает предложению «s» вероятность И_rs: И_r.

5. 1б11. Нет никакого особого объекта, свойственного вероятностным предложениям.

5. 152. Предложения, которые не имеют общих друг с другом аргументов истинности, мы называем независимыми друг от друга. Два элементарных предложения дают друг другу вероятность 1/2. Если р следует из q, то предложение q дает предложению «р» вероятность 1. Достоверность логического вывода есть предельный случай вероятности. (Применение к тавтологии и противоречию.)

5. 153. Предложение само по себе ни вероятно, ни невероятно. Событие наступает или не наступает; среднего не дано.

5. 154. В урне было одинаковое количество белых и черных шаров (и только их). Я вытаскиваю один шар за другим и кладу их в урну обратно. Тогда я могу установить опытом, что число вынутых черных и белых шаров приближается друг к другу при постоянном вынимании. Это, следовательно, не математический факт. Если я теперь говорю: одинаково вероятно, что я вытяну-как белый шар, так и черный, то это означает: все известные мне обстоятельства (включая и гипотетически принимаемые естественные законы) придают наступлению одного события не больше вероятности, чем наступлению другого. Это означает, что они дают – как легко понять из вышеприведенных разъяснений – каждому событию вероятность, равную 1/2. Проверить я могу только то, что наступление этих двух событий не зависит от обстоятельств, которых я не знаю более подробно.

5. 155. Единица вероятностного предложения такова: обстоятельства – о которых я больше ничего не знаю – дают наступлению определенного события такую-то и такую-то степень вероятности.

5. 156. Таким образом, вероятность есть обобщение. Она включает общее описание формы предложения. Только за неимением достоверности мы нуждаемся в вероятности. Когда мы знаем факт не полностью, но, однако, знаем что-то о его форме. (Хотя предложение, действительно, может быть не полным образом определенного положения вещей, но оно всегда какой-нибудь полный образ.) Вероятностное предложение является как бы извлечением из других предложений.

5. 2. Структуры предложении стоят друг к другу во внутренних отношениях.

5. 21. Мы можем подчеркнуть эти внутренние отношения в нашем способе выражения, изображая предложение как результат операции, которая образует его из других предложений (оснований (Basen) операций).

5. 22. Операция есть выражение отношения между структурами их результатов и их оснований.

5. 23. Операция есть то, что должно произойти с предложением, чтобы образовать из него другие.

5. 231. И это, естественно, зависит от их формальных свойств, от внутреннего подобия их форм.

5. 232. Внутреннее отношение, упорядочивающее ряд, эквивалентно операции, благодаря которой один член возникает из другого.

5. 233. Операция впервые может выступать там, где одно предложение возникает из другого логически значимым способом, т. е. там, где начинается логическая конструкция предложения.

5. 234. Функции истинности элементарных предложений являются результатами операций, которые имеют своими основаниями элементарные предложения. (Эти операции я называю операциями истинности.)

5. 2341. Смысл функции истинности р есть функция смысла р. Отрицание, логическое сложение, логическое умножение и т. д. – суть операции. (Отрицание делает противоположным смысл предложения.)

5. 24. Операция проявляется в переменной; она показывает, как из одной формы предложения можно получить другую. Она дает выражение различию форм. И общим между основаниями и результатом операции как раз и являются сами основания.

5. 241. Операция характеризует не форму, а только различие форм.

5. 242. Та же самая операция, которая выводит «q» из «p», выводит из «q» из «p» и так далее. Это может быть выражено только тем, что «р», «q», «r» и т. д. Являются переменными, которые дают общее выражение определенным формальным отношениям.

5. 25. Наличие операции не характеризует смысла предложения. Операция ведь ничего не утверждает, утверждает только ее результат, а это зависит от оснований операции. (Операцию и функцию не следует путать друг с другом.)

5. 251. Функция не может быть своим собственным аргументом, а результат операции может быть ее собственным основанием.

5. 252. Только так возможен переход от члена к члену в формальном ряду (от типа к типу в иерархии Рассела и Уайтхеда). (Рассел и Уайтхед не признавали возможности этого перехода, но всегда его употребляли.)

5. 2521. Повторное применение операции к своему собственному результату я называю ее последовательным применением («0' 0' 0', а») есть результат трехразового последовательного применения «0' «к «а»). В подобном же смысле я говорю о последовательном применении многих операций к определенному количеству предложений.

5. 2522. Общий член формального ряда а, О', а, О' О' а... я пишу поэтому так: «[а, x, О', х]». Это выражение в скобках есть переменная. Первый член выражения в скобках есть начало формального ряда, второй – форма произвольного члена х ряда и третий – форма того члена ряда, который непосредственно следует за х.

5. 2523. Понятие последовательного применения операции эквивалентно понятию «и так далее».

5. 253. Одна операция может аннулировать результат другой. Операции могут друг друга аннулировать.

5. 254. Операция может исчезать (например, отрицание в «~ ~ p». ~ ~ р=р).

5. 3. Все предложения представляют результат операций – истинности с элементарными предложениями. Операция истинности есть способ возникновения функции истинности из элементарных предложений. Согласно природе операции истинности, таким же образом как из элементарных предложений возникают их (дикции истинности, из функций истинности возникают новые. Каждая операция истинности создает из функций истинности элементарных предложений новую функцию истинности элементарных предложений, т. е. предложение. Результат каждой операции истинности над результатами операций истинности над элементарными предложениями является снова результатом одной операции истинности над элементарными предложениями. Каждое предложение есть результат операции истинности над элементарными предложениями.

5. 31. Схемы № 4. 31 имеют значение также тогда, когда «р», «q», «r» и т. д. не являются элементарными предложениями. И легко увидеть, что пропозициональный знак в № 4. 42 выражает одну функцию истинности элементарных предложений, даже если «р» и «q» являются функциями истинности элементарных предложений.

5. 32. Все функции истинности являются результатами последовательного применения конечного количества операций истинности к элементарным предложениям.

5. 4. Здесь становится ясным, что нет «логических объектов», «логических констант» (в смысле Фреге и Рассела).

5. 41. Ибо все те результаты операций истинности над функциями истинности, которые являются одной и той же функцией истинности элементарных предложений, тождественны.

5. 42. Очевидно, что V, É и т. д. не являются отношениями в смысле правого и левого. Возможность перекрестного определения логических «первичных знаков» Фреге и Рассела уже показывает, что они не являются «первичными знаками» и не обозначают никаких отношений. И очевидно, что «É», которое мы определяем через «~» и «V» тождественно тому, посредством чего мы определяем «\/» с помощью «~», и что это «V» тождественно с первым, и так далее.

5. 43. Заранее, однако, довольно трудно поверить в то, что из факта р должно следовать бесконечно много других фактов, а именно ~ ~ р, ~ ~ ~ ~р и т. д. И не менее удивительно, что бесконечное количество предложений логики (математики) следует из полдюжины «исходных предложений» (Grundgesetze). Но все предложения логики говорят одно и то же. А именно ничего.

5. 44. Функции истинности не являются материальными функциями. Если можно, например, получить утверждение через двойное отрицание, то содержится ли тогда отрицание в каком-либо смысле – в утверждении? Отрицает ли «~~р» ~р или оно утверждает р? Или то и другое? Предложение «~ р» не трактует отрицание как объект; возможность отрицания, пожалуй, предрешается уже в утверждении. И если бы существовал объект, называемый «~», то «~~р» должно было бы говорить нечто другое, чем «р». Так как одно предложение говорило бы о ~, другое – нет.

5. 441. Это исчезновение мнимых логических констант выступает и в том случае, если «~ ($ х). ~ fx» говорит то же самое, что и «(х). fx, или если «~ ($ х). ~ fxх = a» говорит то же самое, что и «f а».

5. 442. Если нам дано предложение, то вместе с ним уже даны результаты всех операций истинности, основанием которых оно является.

5. 45. Если есть логические первичные знаки, то правильная логика должна уяснить их место по отношению друг к другу и оправдать их существование. Конструкция логики из ее первичных знаков должна стать ясной.

5. 451. Если логика имеет исходные понятия, то они должны быть независимыми друг от друга. Если введено исходное понятие, то оно должно быть введено во всех связях, в которых оно вообще имеет место. Следовательно, нельзя вводить понятие сначала для одной связи, а потом для другой. Например: если введено отрицание, то мы должны его понимать в предложениях формы «~ p» так же, как в предложениях вида – ~ p V q ) ^«, «($ х). ~ fx « и других. Мы не можем вводить его сначала для одного класса случаев, потом для другого, потому что тогда оставалось бы сомнительным, является ли его значение в обоих случаях одинаковым, и не было бы основания для у потребления в обоих случаях одного и того же способа символизации. (Короче, для введения первичных знаков имеет значение mutatis mutandis, то же самое, что Фреге в работе «Основные законы арифметики» («Grundgesetze der Arith-metik») говорил относительно введения знаков через определения.)

5. 452. Введение нового знака в символизм логики должно быть всегда чревато последствиями. Ни один новый знак не должен вводиться в логике – так сказать, с совершенно невинной миной – в скобках или в сноске. (Так, в «Principia Mathematical Рассела и Уайтхеда встречаются словесные определения и исходные предложения. Почему здесь внезапно появляются слова? Это нуждается в оправдании. Но оправдания нет и не может быть, так как этот процесс (внезапное появление слов. – Перев.) фактически не дозволен.) Но если введение нового знака является необходимо доказанным в каком-либо месте, то должны тотчас же спросить: где должен этот знак постоянно применяться? Отныне его место в логике должно быть выяснено.

5. 453. Все числа в логике должны допускать оправдание. Или – скорее – должно выявиться, что в логике нет никаких чисел. Нет никаких привилегированных чисел.

5. 454. В логике нет соседства, нельзя дать никакой классификации. В логике не может быть более общего- и более особенного.

5. 4541. Решения логических проблем должны быть простыми, так как они устанавливают стандарт простоты. Люди всегда догадывались, что должна быть дана область вопросов, ответы на которые априори симметричны и объединяются в законченные регулярные структуры. Область, в которой предложение достоверно: simplex sigillum veri.

5. 46. Если логические знаки вводятся правильно, то тем самым вводится смысл всех их комбинаций, следовательно, не только «pVq», но также и «~ (pV~q)» и т. д. Тем самым вводится результат всех возможных комбинаций скобок. И благодари этому становится ясным, что собственно общими первичными знаками являются не «p\/q», ($ х) f (x)» и т. д., а самая общая форма их комбинаций.

5. 461. Большое значение имеет тот кажущийся неважным факт, что логические псеадоотношения, как V и É, нуждаются в скобках, в отличие от действительных отношений. Употребление, скобок при этих псевдопервичных знаках уже Указывает на то, что они не являются в действительности первичными знаками. Все-таки, по-видимому, никто не верит, что скобки имеют самостоятельное значение.

5. 4611. Логические знаки операций являются пунктуациями.

5. 47. Ясно, что все то, что может быть сказано заранее о форме всех предложений вообще, может быть сказано за один раз (aufeinmal). Ведь все логические операции уже содержатся в элементарном предложении. Потому что «о» говорит то же самое, что и «($ х) fх. х. == а». Где есть композиция, там есть аргумент и функция, а где есть они, там есть уже все логические константы. Можно было бы сказать: одна логическая константа есть то, что все предложения, по своей природе, имеют общим друг с другом. Но это есть общая форма предложения.

5. 471. Общая форма предложения есть сущность предложения.

5. 4711. Дать сущность предложения значит дать сущность всех описаний, следовательно, дать сущность мира.

5. 472. Описание самой общей формы предложения есть описание одного и единственного общего первичного знака в логике.

5. 473. Логика должна сама о себе заботиться. Возможный знак тоже должен быть способен обозначать. Все то, что в логике возможно, является также дозволенным. («Сократ тождествен» ничего. не означает потому, что нет свойства, называемого «тождественный». Предложение бессмысленно потому, что мы не дали некоторого произвольного определения, а не потому, что символ сам по себе не дозволен.) В некотором смысле мы не можем делать ошибок в логике.

5. 4731. Самоочевидность, о которой так много говорил Рассел, в логике может стать лишней только благодаря тому, что язык сам предотвращает каждую логическую ошибку. Априорность логики заключается в том, что нельзя нелогически мыслить.

5. 4732. Мы не можем дать знаку неправильный смысл.

5. 47321. «Бритва» Оккама не является, конечно, произвольным правилом или правилом, оправданным своим практическим успехом: она просто. говорит, что не необходимый элемент символики ничего не значит. Знаки, служащие для одной цели, логически эквивалентны; знаки, не служащие ни для какой цели, логически неэначимы.

5. 4733. Фреге говорит: каждое законно образованное предложение должно иметь некоторый смысл; и я говорю: каждое возможное предложение образовано законно, и если оно не имеет смысла, то это может быть только потому, что мы не дали некоторым его составным частям никакого значения. (Даже если мы верим, что это сделано.) Так, предложение «Сократ тождествен» ничего не говорит потому, что мы не дали никакого значения слову «тождественный» как прилагательному. Потому что, когда оно выступает как знак равенства, оно символизирует совсем другим образом-отношение-обозначения другое, – следовательно, символ в обоих случаях также совершенно разный; оба символа только случайно имеют общий знак.

5. 474. Количество необходимых основных операций зависит только от нашего способа записи.

5. 475. Это только вопрос построения системы знаков с определенным числом измерений-с определенной математической множественностью.

5. 476. Ясно, что здесь речь идет не о количестве исходных понятий, которые должны обозначаться, но только о выражении правила.

5. 5. Каждая функция истинности есть результат последовательного применения операций (- – – – – И) к элементарным предложениям. Эта операция отрицает все предложения в правых скобках, и я называю ее отрицанием этих предложений.

5. 501. Выражение в скобках, члены которого являются предложениями, я обозначаю-если последовательность членов в скобках безразлична-знаком вида «x». «x» есть переменная, значения которой являются членами выражения, заключенного в скобки; и черточка над переменной означает, что она заменяет все свои значения в скобках. (Если, например, «x» имеет три значения: Р, W, R, то, следовательно, (x) = ( Р, W, R) Значения переменных устанавливаются. Установление есть описание предложений, заменяемых переменной. Как происходит описание членов выражения, заключенного в скобки, не существенно. Мы можем различать три вида описаний: I. Прямое перечисление. В этом случае мы можем просто вместо переменной поставить ее постоянное значение. II. Указание функции fx, значения которой для всех значений х являются описываемыми предложениями. III. Указание формального закона, по которому образованы эти предложения. В этом случае члены выражения, заключенного в скобки, суть все члены формального ряда.

5. 502. Я, следовательно, пишу вместо «(- – – – – И) (x...) «, N (x)». N (x) есть отрицание всех значений пропозициональной переменной.

5. 503. Так как, очевидно, легко выразить, как посредством этой операции могут образовываться предложения и как посредством ее они не должны образовываться, то поэтому данное обстоятельство также должно допускать точное выражение.

5. 51. Если x имеет только одно значение, то N (x) = ~ р (не р), и если имеет два значения, то N (x) = ~ p. ~ q (ни р, ни q).

5. 511. Как может всеобъемлющая, отражающая мир логика употреблять такие специальные трюки и манипуляции? Только связывая все это в бесконечно тонкую сеть, в огромное зеркало.

5. 512. «~ р» истинно, если «p» ложно. Следовательно, в истинном предложении «~ р» «р» есть ложное предложение. Как может теперь штрих «~» привести его в соответствие с действительностью? Но то, что отрицает в «~ р», есть, однако, не «~», но то, что является общим для всех знаков этого способа записи, отрицающих р. Отсюда общее правило, по которому образуются «~ р», «~ ~ ~ р», « ~ р V ~ p», «~ p ~ p» и т. д. (до бесконечности). И это общее вновь отражает отрицание.

5. 513. Можно было бы сказать: общее всех символов, которые утверждают как р, так и q, есть предложение «pVq». Общее всех символов, которые утверждают или р, или q, есть предложение «рVq». Итак, можно сказать: два предложения друг другу противоречат, когда они не имеют ничего общего друг с другом; и каждое предложение имеет только одно отрицание, так как имеется только одно предложение, которое полностью лежит вне его. Таким же образом в расселовском способе записи обнаруживается, что «q: pV~ p » говорит то же самое, что и «q»; что «р V ~ p»ничего не говорит.

5. 514. Если установлен способ записи, то в нем имеется правило, по которому образуются все предложения, отрицающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р, правило, по которому образуются все предложения, утверждающие р или q, и т. д. Эти правила эквивалентны символам, и в них снова отражается их смысл.

5. 515. Следует показать в наших символах, что то, что связывается посредством «V», «.» и т. д., должно быть предложениями. Именно это имеет место, так как символы «р» и «q» ведь сами предполагают «V», «~» и т. д. Если знак «р» в «pVq» не замещает комплексного знака, то он сам по себе не может иметь смысла, но тогда знаки «рVр», «р. р» и т. д., имеющие тот же смысл, что и «р», также не имеют смысла. Но если «рVр» не имеет смысла, то «рVq» также не может иметь смысла.

5. 5151. Должен ли знак отрицательного предложения образовываться с помощью знака положительного? Почему нельзя выразить отрицательное предложение посредством отрицательного факта? (Например, если «а» не стоит в определенном отношении к «b», то это можно было выразить тем, что aRb не имеет места.) Но ведь здесь отрицательное предложение также косвенно образовано через положительное. Положительное предложение предполагает существование отрицательного предложения и наоборот.

5. 52. Если значения S являются всеми значениями функции fx для всех значений х, то N (x) = ~ ($x). fx

5. 521. Я отделяю понятие «все» от функции истинности. Фреге и Рассел вводили общность в связи с логическим произведением или логической суммой. Так было труднее понять предложения «($x). fх» и «(x) fx», в которых скрыты обе эти идеи.

5. 522. Своеобразие «символики общности», во-первых, в том, что она ссылается на логический первообраз, и, во-вторых, что она подчеркивает константы.

5. 523. Символ общности выступает как аргумент.

5. 524. Если даны объекты, то тем самым уже даны все объекты. Если даны элементарные предложения, то тем самым также даны все элементарные предложения.

5. 525. Неправильно передавать предложение «($x). fх» словами «fx возможно», как это делает Рассел. Несомненность, возможность или невозможность положения вещей выражаются не предложением, но тем, что выражение есть тавтология, осмысленное предложение или противоречие. Тот прецедент, на который постоянно могли бы ссылаться, должен наличествовать уже в самом символе.

5. 526. Можно полностью описать мир при помощи вполне обобщенных предложений, т. е. не согласовывая заранее какое-либо имя с определенным объектом. Чтобы затем перейти к обычному способу выражения, нужно просто к выражению «имеется один и только один х, который...» прибавлять: «и этот х есть а».

5. 5261. Вполне обобщенное предложение является составным, как и любое другое предложение. (Это проявляется в том, что мы в «($х, Ф). Фх» должны упоминать «Ф» и «x» раздельно. Оба независимо стоят в отношениях обозначения к миру, как и в необобщенном предложении.) Охарактеризуем составной символ: он имеет нечто общее с другими символами.

5. 5262. Ведь истинность или ложность каждого предложения меняет нечто в общей структуре мира. И пространство, которое оставляется его структуре совокупностью элементарных предложений, есть как раз то, которое ограничивается вполне общими предложениями. (Если истинно какое-либо элементарное предложение, то тем самым во всяком случае истинно еще одно элементарное предложение.)

5. 53. Тождество объектов я выражаю тождеством знаков, а не с помощью знака тождества. Различие объектов – различием знаков.

5. 5301. Очевидно, что тождество не есть отношение между объектами. Это становится совершенно ясным, если, например, рассмотреть предложение: «(х): fx. É. х = а». Это предложение говорит просто то, что только а удовлетворяет функцию f, а не то, что только такие вещи удовлетворяют функцию f, которые имеют определенное отношение к а. Можно, конечно, теперь сказать, что как раз только а имеет это отношение к а, но, чтобы выразить это, мы нуждаемся в самом знаке тождества.

5. 5302. Расселовское определение «==«не годится, так как согласно ему нельзя сказать, что два объекта имеют общими все свойства. (Даже если это предложение никогда не верно, оно все же имеет смысл.)

5. 5303. Между прочим: сказать о двух предметах, что они тождественны, бессмысленно, а сказать об одном предмете, что он тождествен самому себе, значит ничего не сказать.

5. 531. Следовательно, я не пишу «f (a, b). a == b», но «f (а, а)» (или «f (b, b) «). И не «f (а, b ). ~ а == b», но «f (а, b)».

5. 532. И аналогично: не « ($х, y). f (х, у). х == y», но ($х). f (x, x) «; и не «( $х, у). f (x. y). ~ х = у», но « ($х, y). f (х, у)».

(Следовательно, вместо расселовского « ($х, y). f (х, у) «: « ($х, y). f (х, у)». V « ($х). f (х, x)».)

5. 5321. Вместо «(х): fх х == а» мы, следовательно, пишем, например, « ($х). f (х, у)».: ~ ($х, y). fх fу». А предложение «только один х удовлетворяет f ()» гласит: «($х). fx: ~ ($х, y). fx. fy».

5. 533. Следовательно, знак тождества не является существенной составной частью логической символики

5. 534. И теперь Мы видим, что псевдопредложения, как «а==а», «а= Ь. Ь = с. É а ==с», «($). х == х», «($х). х == о» и т. д., в правильной логической символике даже не могут быть написаны.

5. 535. Тем самым исчезают и все проблемы, связанные с подобными псевдопредложениями. Здесь уже решаются все проблемы, связанные с расселовской «аксиомой бесконечности». То, что должна высказать аксиома бесконечности, могло бы выразиться в языке тем, что имеется бесконечно много имен с различным значением.

5. 5351. Существуют определенные случаи, когда возникает искушение употребить выражение вида «а =а» или «рÉр» и тому подобные. Это происходит именно тогда, когда хотят говорить о прообразе: предложение, вещь и т. д. Так, Рассел передал в «Принципах математики» («Principles of Mathematics») бессмыслицу «р есть предложение» в символах посредством «рÉр» и принял ее как гипотезу для определенных предложений, чтобы показать, что места их аргументов могут быть заняты только предложениями. (Ставить гипотезу рÉрперед предложением, чтобы его аргументам обеспечить правильную форму, уже потому бессмысленно, что эта гипотеза для не-предложения как аргумента является не ложной, «о бессмысленной, и потому, что само предложение с аргументами неправильного вида является бессмысленным и, следовательно, предохраняет себя от неправильных аргументов столь же хорошо или столь же плохо, как и бессмысленная гипотеза, предназначенная для этой цели.)

5. 5352. Также-хотели выражать «предметов не существует» через «~ ($х, y ). х=х». Но даже если это было бы предложением, разве оно не было бы истинным, даже если бы действительно «предметы существовали», но при этом не были бы тождественны самим себе?

5. 54. В общей пропозициональной форме предложение входит в предложение только как основание операций истинности.

5. 541. На первый взгляд, кажется, будто предложение может также входить в другое и другим способом. В особенности в определенных формах предложений психологии, как «А думает, что р имеет место» или «А мыслит р». Здесь на первый взгляд кажется, что предложение р как будто стоит к объекту А в каком-то отношении. (Так понимались эти предложения и в современной теории познания (Рассел, Мур и т. д.).)

5. 542. Но ясно, что «Доверит, что р», «А мыслит р», «А говорит р» являются предложениями формы: «р говорит р»; и здесь мы имеем не координацию факта и объекта, а координацию фактов посредством координации их объектов.

5. 5421. Это также показывает, что душа-субъект и т. д., – как она понимается в современной поверхностной психологии, есть небылица. Составная душа больше не была бы собственно душой. ((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228269']=__lxGc__['s']['_228269']||{'b':{}})['b']['_698163']={'i':__lxGc__.b++};