Решение системы нелинейных уравнений

Кроме оптимизационных задач, средство поиска решений позволяет находить решения системы нелинейных уравнений. Рассмотрим следующий пример.

x² + y² =3

2x+3y=1

Пара (x,y) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:

(x² + y² -3)² +(2х+3у-1) ² =0.

Отметим, что решением системы уравнений являются точки пересечения окружности с радиусом 3, и прямой. Следовательно, уравнение имеет не более двух различных решений.

Определяемое решение нелинейной задачи зависит от начального приближения, удачный подбор которого очень важен. В данном случае локализовать корни можно, например, протабулировав левую часть уравнения по переменным х и у на отрезке
[-3;3] с шагом 1,5. Результат табуляции приведен ниже:

В ячейке A2:A6 и B1:F1 введены значения х и у соответственно. В ячейку В2 введена формула: =($A2^2+B$1^2-3)^2+(2*$A2+3*B$1-1)^2

Протащим формулу на диапазон B2:F6. Из таблицы видно, что за начальное приближение к корню разумно выбрать следующие пары значений (-1,5; 1,5), (1,5; -1,5), (1,5;0).

Для нахождения первого корня введем переменные х и у в ячейки А10 и В10 соответственно вводим -1,5 и 1,5, а в ячейку С10 введем формулу

=(A10^2+B10^2-3)^2+(2*A10+3*B10-1)^2

Затем вызовем команду Сервис, Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку вводим С10. В поле Изменяя ячейки вводим диапазон А10:В10. В группе Равной установим переключатель в положение Значению, в поле ввода которого вводим 0. Убедитесь, что в диалоговом окне Параметры поиска решений снят флажок Линейная модель.

После нажатия на кнопку Выполнить средство поиска решений находит решение, которое помещается в ячейку А10 и В10. В данном случае это будут значения -1,268 и 1,179. В ячейке С10 вычисляется значение уравнения при этих значениях переменных. Так как средство поиска решений находит решение приближенно, то в ячейке С10 может быть значение отличное от нуля, но достаточно близкое к нему. Если в ячейке С10 будет большое число, то решение будет не верно.

Аналогично находится второе решение, используя начальное приближение (1,5;-1,5). Решением будут значения 1,576 и -0,717. Убедитесь, что начальное приближение (1,5; 0) приводит к тому же решению.

Задание для самостоятельной работы№1:

Решить транспортную задачу по вариантам

Однородный продукт, сосредоточенный у поставщиков в количествах единиц соответственно, необходимо доставить потребителям в количестве единиц каждому. Известна стоимость перевозки единицы продукта от -го поставщика к -му потребителю. Условия транспортной задачи обычно задаются таблицей:

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

В левой графе таблицы для каждого поставщика указывается количество единиц предназначенного для отправки груза. В верхней строке для каждого потребителя указывается количество единиц потребляемого груза. Стоимость перевозки единицы продукта от -го поставщика к -му потребителю указывается на пересечении -ой строки и -го графы таблицы. Требуется составить план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные расходы.

­ Варианты заданий (1.1-1.20):

1.1

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.2

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.3

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.4

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.5

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.6

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.7

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.8

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.9

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.10

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.11

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.12

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.13

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.14

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.15

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.16

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.17

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.18

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.19

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

1.20

Поставщики и их мощности	Потребители и их спрос

Задания для самостоятельной работы№2:

Варианты (2.1-2.20):

2.1. Завод изготовляет корпуса для холодильников и комплектует их оборудованием, поставляемым без ограничений другими предприятиями. В таблице указаны нормы трудозатрат, затрат материалов для изготовле­ния корпусов, ограничения по этим ресурсам в расчете на месяц и при­быль от реализации холодильника каждой из пяти марок. Найти месяч­ный план выпуска холодильников, максимизирующий прибыль.

2.2. На звероферме могут выращиваться песцы, черно-бурые лисы, нутрии и норки. Для их питания используется три вида кормов. В табли­це приведены нормы расхода кормов, их ресурс в расчете на день, а так­же прибыль от реализации одной шкурки каждого зверя. Определить, сколько и каких зверьков следует выращивать на ферме, чтобы прибыль от реализации шкурок была наибольшей.

2.3. Участник экспедиции «Северное сияние» укладывает рюкзак, и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо, мука, сухое молоко, сахар. В рюкзаке осталось лишь 45 дм³ объема, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мясо (по массе) было не больше муки, по крайней мере, в 2 раза, муки не меньше молока, а молока, по меньшей мере, в восемь раз больше, чем сахара.

Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак, чтобы сум­марная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены ниже в таблице.

2.4. Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой металл, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов приведены в табли­це. Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна со­ставлять 14 м²; из них не менее 4 м² и не более 5 м² следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект?

2.5. Нефтеперерабатывающий завод производит за месяц 1500000 л
алкилата, 1200000 л крекинг-бензина и 1300000 л изопентона. В резуль­тате смешивания этих компонентов в пропорциях 1:1:1 и 3:1:2 получает­ся бензин сорта А и Б соответственно. Стоимость 1000 л бензина сорта А и Б соответственно равна 90 р. и 120 р.

Определить месячный план производства бензина сорта А и Б, максимизирующий стоимость выпускаемой продукции.

2.6. Рацион кормления коров на молочной ферме может состоять из
трех продуктов: сена, силоса и концентратов. Эти продукты содержат
питательные вещества: белок, кальций и витамины. Численные данные
представлены в таблице.

В расчете на одну корову суточные нормы потребления белка и кальция составляют не менее 2000 г и 210 г соответственно. Потребление витаминов строго дозировано и должно быть равно 87 мг в сутки. Соста­вить самый дешевый рацион, если стоимость 1 кг сена, силоса и концен­трата равна соответственно 1.5, 2 и 6 руб.

2.7. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и Б, смешивая три ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай. В таблице приведены нормы расхода ингредиентов, объем запасов каждого ингре­диента и прибыль от реализации 1 т чая сорта А и Б.

Требуется составить план производства чая сорта А и Б с целью максимизации суммарной прибыли.

2.8. Компания контролирует три фабрики F₁, F₂ и F₃, способных произ­водить 50, 25 и 25 тыс. изделий еженедельно. Она заключила договоры с четырьмя заказчиками С₁,С₂, С₃ и С₄. которым требуется еженедельно 15, 20, 20 и 30 тыс. изделий. Стоимости производства и транспортировки 1 тыс. изделий заказчикам с фабрик приведены ниже.

Определите минимизирующие общую стоимость объемы производ­ства и распределения для каждой фабрики.

2.9. Фирма производит два продукта А и В, рынок сбыта которых не­ограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из машин 1, 2, 3. Время обработки в часах для каждого из изделий А и В приведено в таблице.

Время работы машин 1, 2, 3 соответственно 40, 36 и 36 ч. в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет соответственно 5 и 3 доллара.

Фирме надо определить недельные нормы выпуска изделий А и В, максимизирующие прибыль.

2.10. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров -
А и В. Агенты по продаже считают, что на рынке в неделю может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м материала, а для полки типа В - 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В - 3 мин; машину можно использовать 160 ч в неделю.

Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 доллара, а от полок типа В - 4 доллара, то сколько полок каждого типа следует выпус­кать в неделю?

2.11. Производитель безалкогольных напитков располагает двумя раз­ливочными машинами А и В. Машина А спроектирована для пол-
литровых бутылок, а машина В - для литровых, каждая из них может
использоват