Пример1. Вычислить интеграл (узлы: 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2), построив квадратурную формулу интерполяционного типа по заданным узлам

Вычислить интеграл (узлы: 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2), построив квадратурную формулу интерполяционного типа по заданным узлам. Коэффициенты квадратурной формулы, которые сами являются интегралами от полиномов, вычислить интегрированием по квадратурной формуле прямоугольников с равноотстоящими узлами из предыдущей работы. Ответ проверить, вычислив точное значение интеграла.

Решение.

Точное значение интеграла:

.

Для приближенного вычисления интеграла , где , , построим квадратурную формулу вида , заменяя на всем отрезке интерполяционным многочленом степени , построенным по узлам интерполирования , (из условия). Обозначим – значения функций в заданных узлах .

, (1)

где , .

Значения функции в заданных узлах представлены в табл. 2.

Табл. 2

		1.2	1.4	1.6	1.8
	0.25	0.2015587208	0.1597881665	0.1262466860	0.1001245995	0.08

Коэффициенты квадратурной формулы вычисляются по формулам

, , (2)

где

, , ,

Для решения интеграла (2) введем сетку, разделяющую отрезок на частей, при этом . Выберем на каждом сегменте , срединную точку и обозначим , . Применяя квадратурную формулу прямоугольников, получаем:

, .

Найдем коэффициенты :

: , где .

: , где .

: , где .

: , где .

: , где .

: , где .

Подставляя найденные нами значения (табл. 2) и () в квадратурную формулу (1), найдем приближенное значение интеграла:

.

Сравним точное значение интеграла с приближенным:

.