Сечение шара. Плоскость пересекает сферу по окружности

Плоскость пересекает сферу по окружности. Если секущая плоскость σ, ω или γ является плоскостью уровня, то одна из проекций представляет собой окружность, а две другие – отрезки прямых линий, равные её диаметру. Если секущая плоскость является проецирующей, то две проекции фигуры сечения являются эллипсами, а третья – отрезком прямой линии.

Задача. Построить три проекции и натуральную величину фигуры сечения сферы фронтально проецирующей плоскостью α (рис.37).

Анализ:

1. Фигурой сечения является окружность с центром в точке О(О₂) радиуса R. Точка О₂ является основанием перпендикуляра, проведённого из центра сферы к заданной плоскости α.

2. Фронтальной проекцией окружности является отрезок А₂В₂= 2R.

3. Горизонтальной и профильной проекциями окружности являются эллипсы.

Рис.37

Решение

1. Сначала находим опорные точки, их шесть и они находятся на про-

екциях контура шара:

- А и D расположены на главном меридиане;

- В и F принадлежат экватору;

- С и E – на меридиане, параллельном профильной плоскости,

поэтому в первую очередь необходимо построить проекции именно

этих точек.

В проекциях фигуры сечений как на горизонтальной, так и на профильной плоскостях проекций изображаются в виде эллипсов, если секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций.

2. Для построения горизонтальной проекции большой оси эллипса делим фронтальную проекцию А₂D₂ пополам и получаем фронтальную проекцию 1₂-2₂ оси эллипса.

3. Для нахождения горизонтальной и профильной проекцией осей проводим вспомогательную плоскость β, параллельную горизонтальной плоскости проекций П₁ через точки 1 и 2.

4. Строим дополнительное сечение, которое на горизонтальной плоскости проекций изобразится в виде окружности, а на профильной плоскости - в виде прямой.

5. Затем с помощью линий связи переносим точки 1 и 2 на горизонтальную проекцию сечения, получая горизонтальную проекцию

1₁-2₁ большой оси эллипса.

6. Третья проекция находится обычным путём.

Натуральное сечение, которое выразится в виде окружности, находится

способом замены плоскостей проекций. Таким же путём можно найти сколько угодно дополнительных точек, принадлежащих сечению шара.

Рис.38 иллюстрирует решение задачи на построение точек пересечения прямой с поверхностью сферы. Алгоритм решения понятен из чертежа, он аналогичен рассмотренному выше при определении точек пересечения прямой линии с конусом.

Рис.38