Последовательное исключение

Предметная область

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Рассмотрим систему линейных уравнений с действительными постоянными коэффициентами:

или в матричной форме:

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений включает в себя 2 стадии:

§ последовательное (прямое) исключение;

§ обратная подстановка.

Последовательное исключение

Исключения Гаусса основаны на идее последовательного исключения переменных по одной до тех пор, пока не останется только одно уравнение с одной переменной в левой части. Затем это уравнение решается относительно единственной переменной. Таким образом, систему уравнений приводят к треугольной (ступенчатой) форме. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой (а чаще максимальный) элемент и перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк. Затем нормируют все уравнения, разделив его на коэффициент a_i1, где i – номер столбца.

Затем вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк:

Получают новую систему уравнений, в которой заменены соответствующие коэффициенты.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают указанный процесс для всех последующих уравнений пока не останется уравнение с одной неизвестной: