Краткая сводка теоретических сведений, необходимых для выполнения задания 3

Найти действительные корни уравнения, где - алгебраическая или трансцендентная функция.

Точные методы решения уравнений подходят только к узкому классу уравнений (квадратные, биквадратные, некоторые тригонометрические, показательные, логарифмические).

В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:

1) отделение (локализация) корня;

2) приближённое вычисление корня до заданной точности.

Отделение действительного корня уравнения - это нахождение отрезка, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.

Наиболее удобным и наглядным является графический метод отделения корней:

1) строится график функции, и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью, которые и являются корнями уравнения;

2) если - сложная функция, то её надо представить в виде так, чтобы легко строились графики функций и. Так как, то. Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения.

Представим левую часть уравнения в виде. Получим: Построим графики функций и.

Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке, значит корень уравнения

Если искомый корень уравнения отделён, т.е. определён отрезок, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.

Такая задача называется задачей уточнения корня.

Уточнение корня можно производить различными методами:

1) метод половинного деления (бисекции);

2) метод итераций;

3) метод хорд (секущих);

4) метод касательных (Ньютона);

5) комбинированные методы.

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).

Разделим отрезок пополам точкой, которая будет приближённым значением корня.

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство.

В нашем случае это отрезок, где.

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства.

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.