Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера. Интеграл Бернулли для установившегося вихревого и безвихревого (потенциального) движения жидкости. Частные случаи вихревого движения

Билет №5

Модель идеальной жидкости. Уравнения Эйлера.

Идеальная жидкость - жидкость без вязкости. На самом деле любая жидкость вязкая. Модель идеальной жидкости применяется, если силы вязкости, действующие на ЖЧ, малы по сравнению с другими силами. Подставим в уравнения Навье-Стокса движения вязкой сжимаемой жидкости (газа) - . Получим:

(1)

данные уравнения называются уравнениями Эйлера и описывают движение идеальной сжимаемой и несжимаемой жидкости.

Уравнение неразрывности имеет при этом выглядит:

(2)

В векторной форме уравнения Эйлера:

или (3)

а в форме Громеки-Ламба: (4)

где - вектор-вихрь.

Для жидкости в баротропном состоянии - . В разделе «Гидростатика» мы ввели для баротропной жидкости функцию давления R: или . Подставим и в последнее уравнение Эйлера:

(5)

Для несжимаемой жидкости :

(6)

Как раньше обозначив , получим:

(7)

Уравнения Эйлера вместе с уравнение неразрывности (4 уравнения) содержат 5 неизвестных: В случае несжимаемой жидкости r известно и система замкнута. Для сжимаемого газа система дополняется уравнением состояния: .

Граничные условия для идеальной и вязкой жидкости различаются. В отсутствии вязкости жидкость не прилипает к стенке, а скользит вдоль нее с собственной скоростью. Условие непроницаемости стенки имеет вид:

(8)

где - проекция скорости жидкости на стенке по нормали к стенке; - проекция скорости стенки на нормаль к стенке.

Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

1. Установившееся безвихревое (потенциальное) движение.

То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:

Þ (9)

(10)

полученное соотношение (10) называют интегралом Бернулли.

2. Установившееся вихревое движение.

То есть: и . Уравнение Эйлера (7) при этом получит вид:

(11)

В общем случае вектора и не параллельны. Умножим уравнение Эйлера (11) на вектор- дифференциал линии тока :

(12)

так как , а согласно свойству линии тока, то Þ .

Кроме того, ранее было установлено:

Имеем: (13)

другими словами вдоль линии тока:

(14)

получили интеграл Бернулли.

Для установившегося вихревого течения идеальной жидкости сумма остается постоянной вдоль линий тока, а для установившегося безвихревого течения идеальной жидкости сумма постоянна во всей области течения.

Частные случаи установившегося вихревого движения.

а) Изотермическое течение несжимаемой идеальной жидкости в поле силы тяжести.

Подставляя в (14) и Þ , получим:

(15)

б) Изотермическое течение идеального газа.

Согласно закону Бойля-Мариотта при постоянной температуре:

(16)

закон сохранения массы: (17)

отсюда: Þ (18)

Пусть - давление и плотность газа в некоторой точке течения.

Подставим (18) в выражение для функции давления:

(19)

Влиянием силы тяжести для газа можно пренебречь, то есть - .

Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:

(20)

Пусть - скорость газа в точке с . Тогда получим:

Û . (21)

в) Адиабатное течение идеального газа.

Уравнение адиабатного процесса:

Þ (22)

где k – показатель адиабаты (k=1.4 для воздуха).

Подставим (22) в выражение для функции давления:

(23)

В силу невесомости газа: .

Пусть - скорость газа в точке с . Тогда интеграл Бернулли (14) примет вид:

(24)

Вопрос

Силы, действующие в жидкости. Свойства напряжений. Тензор напряжений.

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ЖИДКОСТИ.

Силы, действующие в жидкости.

В жидкости действуют не сосредоточенные, а распределенные силы. По характеру действия они делятся на поверхностные и массовые (объемные).

В гидромеханике принято считать положительными растягивающие напряжения, то есть направленные в сторону внешней к рассматриваемому объему нормали.

Массовые силы – это силы, действующие одинаково на каждую материальную точку ЖЧ – элементарного объема жидкости. Поэтому они не могут вызывать деформации ЖЧ, а только ее замедление или ускорение. Примерами массовых сил являются сила тяжести, электромагнитные силы, силы инерции.

Для количественной характеристики массовых сил используют следующую величину

(4)

которая называется плотностью распределения массовых сил в точке, куда стягивается объем Имеет размерность ускорения

Для силы тяжести:

Значение поверхностной силы в точке в общем случае зависит от выбора элементарной площадки, проходящей через данную точку, а массовые силы определены однозначно.

Свойства напряжений. Тензор напряжений.

(5)

(6)

Переходя к пределу при и учитывая, что , получим:

(7)

Отсюда следует, что напряжение на любой площадке DS_n может быть выражено через напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках.

Или в проекциях на оси:

(8)

Первый индекс указывает нормаль площадки, на которую действует напряжение, а второй индекс - ось, на которую проектируется данное напряжение. Напряжения с разноименными индексами (p_xy) – касательные, с одноименными – нормальные (p_xx).

То есть, напряжение на любой площадке DS_n можно найти, если известна матрица:

(9)

Эта матрица называется тензором напряжение (тензор второго ранга).

Записывая уравнения моментов, можно показать, что:

(10)

- это закон парности касательных напряжений.

Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определяется шестью величинами – тремя касательными и тремя нормальными напряжениями.

Касательные силы обусловлены действием вязкости. Поэтому касательные напряжения равны нулю в идеальной (невязкой) жидкости. Касательные напряжения равны нулю также в покоящейся жидкости. Вспомните закон трения Ньютона: , вязкие напряжения возникают только при относительном сдвиге слоев. В этих случаях:

(11)

(12)

Из (10) и (12) следует:

(13)

Величина:

(14)

называется гидродинамическим давлением в идеальной жидкости, и гидростатическим давлением в покоящейся жидкости. Оно всегда положительно, так как - напряжения сжатия.

Выводы:

1. Давление в точке – скалярная величина, равная модулю напряжения сжатия в данной точке.

2. Давление не зависит от ориентации элементарной площадки в данной точке.