Испытаниях ДВС на экономичность

Расчетно-графическая работа №1

Погрешности косвенных измерений, определение минимально необходимой величины навески топлива при стендовых

испытаниях ДВС на экономичность

Условия задачи

При испытании тракторного дизеля СМД-18Н часовой расход топлива G_Т определяется весовым способом. Величина навески топлива G измерялась техническими весами с порогом чувствительности DG = 5г, время t - секундомером с приведенной относительной погрешностью несвоевременности включения-выключения секундомера по опытным данным составила d t_н = 0,4с.

Определить минимально необходимую величину навески топлива G, при которой относительная погрешность единичных измерений часового расхода топлива G_Т не превысит 2%, если по паспортным данным предварительно известны эффективная мощность двигателя Ne = 45,6 кВт и удельный расход топлива g_e = 265,2 г/(кВт.ч). Определить также во сколько раз повысится точность измерений при трехкратном повторении опытов.

Пример решения задачи

Величина часового расхода топлива G_Т по результатам косвенных измерений времени t и величины навески G вычисляется по формуле:

, кг/ч, (1)

где G измеряется в граммах, а t - в секундах.

При слабой корреляции погрешностей измеряемых величин, например, x и y, связанных функциональной зависимостью z = f(x,y) с величиной z, для нахождения погрешности величины z используют мультипликативный (геометрический) закон сложения погрешностей:

(2)

где Dz, Dx, Dy - абсолютные погрешности измерения величины z,x,y; df/dx, df/dy - частные производные.

Полагая z = G_Т, х = t, y = G, вычислим частные производные:

dG_Т / dG = 3,6 / t; dG_Т / dt = - 3,6 / t². (3)

Подставим выражения (5.3) в (5.2) и переходя к относительным погрешностям, получим окончательное выражение для расчета относительной погрешности часового расхода топлива:

, (4)

где dG = DG / G - относительная погрешность измерения навески топлива; dt = Dt / t - относительная погрешность измерения времени опыта:

, %, (5)

где dt_n - приведенная относительная погрешность секундомера, %, Dt_н - абсолютная погрешность несвоевременного включения-выключения секундомера, с.

Далее используем следующий алгоритм решения задачи:

1. Вычислим численное значение часового расхода топлива:

G_Т = q_е× × Ne = 0,2652×45,6 = 12,1 кг/ч.

2. Зададимся в первом приближения величиной навески топлива:

G = 100 г.

3. Вычислим время опыта:

t = 3,6 G/G_Т = 3,6×100/12,1 = 29,7 с.

4. Вычислим величину относительной погрешности измерения времени по формуле (5.5):

dt = 0,5 + 100×0,4/29,7 = 1,85%.

5. Вычислим величину относительной погрешности измерения навески топлива:

dG = 100 DG/G = 100×5/100 = 5%.

6. Вычислим по формуле (5.4) величину относительной погрешности измерения часового расхода топлива:

.

7. Т.к. величина dG_Т = 5,33% >2% (больше допустимой погрешности по условию обеспечения точности измерений), то увеличиваем величину навески G и повторяем расчеты с пункта 3.

8. По результатам расчетов строим график зависимости G =f(dG_T) и определим графически необходимую величину навески топлива, рис.1, (кривая 1).

Ответ: G = 280 г.

Сравним полученный ответ с аналитическим решением. Представим относительные погрешности dG и dt с учетом (1) в виде:

(6)

и подставим выражения (5.6) в (5.4)

или

.

Последнее выражение приведем к общему знаменателю:

.

Группируя члены относительно степеней неизвестного параметра G получим квадратное уравнение:

AG²-BG-C=0, (7)

где коэффициенты А,В,С соответственно равны:

(8)

Решение уравнения (7), соответствующее физическому смыслу задачи, имеет вид:

. (9)

Для условий задания получим следующие числовые данные:

A = 3,6²·(0,02²-0,005²) = 0,00486;

B=2·3,6·0,005·0,4·12,1=0,17424;

C=0,4²·12,1²+3,6²·5²=347,4256.

Примечание: в выражения (8) значения относительных погрешностей δG_T и δt_n необходимо подставлять в относительных долях, а не в процентах.

Подставим численные значения коэффициентов А,В,С в (9):

г.

Ответ: величина навески топлива, при которой обеспечивается допустимая погрешность измерений, равна 286г. для проведения опытов принимаем 300г.

Рис.1. Зависимость относительной погрешности измерения часового расхода топлива dG_Т от величины навески при различных значениях G_Т: 1-12,1 кг/ч;

Из теории ошибок известно, что доверительная погрешность и число измерений n связаны между собой выражением, вытекающим из соотношений нормального закона распределения:

, (10)

где t_α - коэффициент Стьюдента, который находят из специальных таблиц, прилагаемых в руководствах по теории вероятностей; α - доверительная вероятность; d_x - среднеквадратичная погрешность (стандарт); Δ_i=(x_i-x) - случайная погрешность i-го измерения; х - истинное значение измеряемой величины, оценкой которого является среднее арифметическое ряда измерений .

Из выражения (10) следует, что при проведении дублированных опытов точность измерений повышается в √n раз, для настоящей задачи n = 3, т.е. в 1,7 раза или 1,2% при навеске топлива G=286г.

Варианты исходных данных для РГР приведены в табл.1. Величины ΔG, δt_n, Δt_н принять равным по условию задания.

Таблица 1