Решение. 3. Является ли число 49 + 610 + 320 простым?

Ответ

160: 32 – 0 = 1 + 4.

3. Является ли число 4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰ простым?

Решение

4⁹ + 6¹⁰ + 3²⁰ = (2⁹)² + 2·2⁹·3¹⁰ + (3¹⁰)² = (2⁹ + 3¹⁰)².

4. Сирень. В вазе стоит букет из 7-ми белых и голубых веток сирени. Известно, что 1) по крайней мере, одна ветка белая, 2) из любых двух веток хотя бы одна — голубая. Сколько в букете белых веток и сколько голубых?

Решение

Из первого условия следует, что, по крайней мере, одна белая ветка есть. Из второго условия следует, что такая ветка только одна: действительно, если бы их было хотя бы две, то, взяв эти две ветки, мы получили бы пару, в которой нет голубой ветки, т.е. не выполняется условие 2. Отсюда сразу же получаем, что белая ветка — одна, а голубые — остальные шесть.

5. Неуловимый Джо никогда не проигрывает на рулетке больше четырех раз подряд и никогда не ставит больше 10 долларов. Как ему выиграть 1000 долларов? (В случае выигрыша на рулетке возвращается удвоенная ставка; вначале Джо имеет 100 долларов.)

Подсказка

Вроде бы Джо невезучий, если он выигрывает только одну ставку из пяти. Но можно ставить так, чтобы выигрыши приходились на ставки, размеры которых больше размеров предыдущих проигрышей. Для этого нужно увеличивать ставку после проигрыша.

Решение

Пусть Джо поставит вначале 50 центов. Если выиграет, пусть он скажет "хорошо" и снова поставит 50 центов. Если проиграет, то в следующей ставке он ставит 1 доллар. Если он выигрывает, то его выигрыш покроет предыдущий проигрыш, и по сумме двух ставок он выиграет 50 центов. После этого пусть Джо снова скажет "хорошо" и в новой ставке ставит 50 центов. Если он проиграет и во второй раз, в третий раз он поставит 2 доллара, чтобы в случае выигрыша покрыть предыдущие проигрыши. Если проигрывает в третий раз, то в четвертый раз ставит 4 доллара, если проигрывает и в четвертый, то в пятый раз ставит 8 долларов. По условию он не проигрывает пяти раз подряд, значит играя таким образом до первого выигрыша, он заработает 50 центов не более, чем за 5 ставок. После этого он скажет "хорошо" и будет ставить также, как вначале. Итак, после 2000 "хорошо" Джо выиграет 1000 долларов. Для этого ему потребуется сделать не более 10000 ставок.

6. Перед началом чемпионата школы по шахматам каждый из участников сказал, какое место он рассчитывает занять. Девятиклассник Ваня сказал, что займет последнее место. По итогам чемпионата все заняли различные места, и оказалось, что каждый, кроме, разумеется, Вани, занял место хуже, чем ожидал. Какое место занял Ваня?