Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель

!!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу.

Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса».

Встречаем очередного пациента: .

В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество.

Вынесем –1 из первой строки:

Или короче:

Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно. Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато.

Вынесем «минус» из второй строки:

Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца:

Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя.

Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя:

Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного и полученного определителей (верный ответ: –216).

На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус:

Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения.

Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, по-любому выгоднее вынести. Познакомимся с маленьким монстром: . Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7:

Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется.

Задание 3

Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов

Это пример для самостоятельного решения.

Ещё пара полезных правил: