Расположение корней квадратного трехчлена

Пусть числа х₁ и х₂ – корни квадратного трехчлена f(x)= ax²+bx +c, причем х₁< x₂, D=b²-4ac≥0, а≠0 и даны А и В – некоторые точки на оси Ох. Тогда:

Теорема 1. Оба корня меньше числа А, то есть х₁<А, х₂<А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) а<0 (4)

х₀ = -b/2a < A (2) или х₀ = - b/2a <A (5)

f(A) > 0 (3) f(A) < 0 (6)

Если в первой системе объединить условия (1) и (3), а во второй условия (4) и (6), то получим новую систему:

x₀= -b/2a < A,

a∙ f(A) >0.

Теорема 2. Корни лежат по разные стороны от числа А, то есть х₁<А<х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 или a<0

f(A) <0 f(A) >0

Запишем условия данных систем одним неравенством: a∙f(A) <0.

Теорема 3. Оба корня больше числа А, то есть х₁>А и х₂>А тогда и только тогда, когда

а>0 (1) a<0 (4)

х₀ >А (2) или x₀ >A (5)

f(A) >0 (3) f(A)<0 (6)

Объединяя в первой системе условия (1) и (3), а во второй системе условия (4) и (6), получим:

х₀ >А,

а∙f(A) >0.

Теорема 4. Оба корня лежат между числами А и В, то есть А<х₁<В и А<х₂<В тогда и только тогда, когда

a>0 (1) a<0 (5)

A<x₀<B (2) или A<х₀<B (6)

f(A) >0 (3) f(A)<0 (7)

f(b) >0 (4) f(B)<0 (8)

Объединив условия (1), (3) и (4) первой системы и условия (5), (7) и (8) второй системы, получим

А<х₀<В,

a∙f(A)>0,

a∙f(B)>0.

Теорема 5. Корни лежат по разные стороны от отрезка [A;B], то есть х₁<А<В<х₂ тогда и только тогда, когда

а>0 a<0

f(A)<0 или f(A)>0

f(B)<0 f(B)>0

Упростив данные системы, получим: a∙f(A)<0,

a∙f(B)<0.