Комплексные числа: определение, операции сложения и умножения

Кафедра высшей математики

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Н.А.Фаркова

Комплексные числа

УДК 517.53

Комплексные числа. Методическая разработка по курсу “Аналитическая геометрия и линейная алгебра” для студентов.

Составитель Н.А.Фаркова. – доцент кафедры высшая математика-2.

Методическая разработка предназначена для студентов 1-го курса, изучающих курс линейной алгебры и аналитической геометрии и содержит необходимый теоретический материал, упражнения и задания для самостоятельной работы студентов.

Составитель: Н.А.Фаркова, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики

Комплексные числа: определение, операции сложения и умножения

Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения следующим образом:

(1.1)

, (1.2)

где - произвольные действительные числа.

Множество всех комплексных чисел обозначается C.

Понятия “ больше” и “меньше ” для комплексных чисел не вводятся.

Действительные числа называются действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются символами Re z и Im z соответственно. Комплексные числа с нулевой мнимой частью

() - это действительные числа. Комплексные числа, не являющиеся действительными, получили название мнимых, а те их них, у которых действительная часть равна нулю - чисто мнимых.

Для чисел и согласно формулам (1.1) и (1.2) имеем

,

Легко проверить, что операции сложения и умножения комплексных

чисел обладают следующими свойствами:

a) коммутативности

b) ассоциативность

c) дистрибутивность

Нулем называется такое комплексное число , что для произвольного числа (a,b) выполняется равенство . Из определения получаем, что . Следовательно, нулем является пара (0,0).

Числом, противоположным к (a,b) называется такая пара , что . Противоположное число обозначается -(a,b). Нетрудно видеть, что

-(a,b) = (- a, -b). Разностью (или числом, полученным в результате вычитания) комплексных чисел (c,d) и (a,b) называется решение уравнения . Разность обозначается (c,d) -(a,b) и, очевидно, равна (c-a, d-b). Легко видеть, что разность (c,d) - (a,b) есть сумма (c,d) и числа, противоположного к (a,b), т.е. (c,d)- (a,b) = (c,d) +

[- (a,b)].

Единицей называется такое комплексное число , что для произвольного числа (a,b) выполняется равенство . Из определения произведения получаем

В случае если , т.е. (a,b) , имеем единственное решение предыдущей системы: Таким образом, для любого в том числе и для Следовательно, (1,0) – единица. Числом, обратным к называется такая пара , что = (1,0). Обратное число обозначается . В случае, когда

(a,b) , система

имеет единственное решение

, (1.3)

а в случае - неразрешима.

Частным (или числом, полученным в результате деления) комплексных чисел (c,d) и (a,b) называется решение уравнения . Частное обозначается (c,d) /(a,b). Его можно получить из системы

. (1.4)

В случае имеем:

(1.5)

если же =0, то результат деления, как легко видеть из (1.4), не определен. Сравнивая (1.3) и (1.5), получаем, что частное (c,d) /(a,b) есть произведение (c,d) на величину, обратную к (a,b):

(c,d) /(a,b)= .

Обозначим через i и будем называть мнимой единицей число (0,1). Для i = (0,1) имеем i² = i i = (0 0-1 1,0 1+1 0) = (-1,0) = -1, т.е.

i² = -1 (1.6).

Заметим также, что

т.е. число представимо в виде . Указанный вид называется алгебраической формой комплексного числа . Ее использование освобождает нас от заучивания правил арифметических операций (1.1) и (1.2): в силу (1.6) работать с комплексными числами можно как с алгебраическими двучленами, зависящими от символа i, с заменой, где необходимо, i² на -1. Например, для нахождения произведения раскроем скобки и получим , так как i² = -1, то = . Для нахождения частного умножим числитель и знаменатель дроби на число :

Упражнение. Проверьте, что

.