Пункт 3. Показательная форма записи комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

Пример 16. Пусть . Напишите показательную форму числа .

Решение.

Находим модуль и аргумент числа:

Следовательно, показательная форма комплексного числа такова:

Пример 17. Комплексное число записано в показательной форме

Найдите его алгебраическую форму.

Решение.

По формуле Эйлера

Итак, алгебраическая форма числа: .

Отметим также, что комплексные числа и равны одно другому тогда и только тогда, когда r ₁ = r ₂ и φ₁ = φ₂ + 2π k, где k - целое число.

Сопряженное комплексное число в показательной форме можно записать в виде

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются следующим образом:

Составить сравнительную таблицу арифметических действий над комплексными числами в различных формах их записи.