Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Застосування похідної до дослідження функційЗростання і спадання функції. Інтервал (a; b) називають інтервалом зростання (спадання) функції y = f (x), якщо на цьому інтервалі функція f зростає (спадає), тоді як на будь-якому ширшому інтервалі вона вже не є зростаючою (не є спадною). Наприклад, для функція f (x)= х 2 інтервал зростання – (0;+¥), а інтервал спадання – (–¥;0). Знаходження інтервалів зростання і спадання за допомогою похідної грунтується на такій теоремі. Достатня умова зростання (спадання) функції. Якщо () для всіх х з інтервалу (а; b), то на цьому інтервалі функція f зростає (спадає). Екстремуми функції. Точку х 0 називають точкою максимуму (точкою мінімуму) функції y=f(x), якщо існує окіл цієї точки такий, що для всіх х з цього околу, крім х = х 0, виконується нерівність f (x 0)> f (x) (f (x 0)< f (x)) (рис.4.4). Функція може мати декілька точок максимуму і мінімуму, а може не мати жодної. Точки максимуму і точки мінімуму функції f називають точками екстремуму цієї функції. Значення функції y = f (x) у точці максимуму (точці мінімуму) називають максимумом (мінімумом) функції f. Максимум і мінімум функції f називають екстремумами цієї функції. Необхідна умова існування точки екстремуму функції (теорема Ферма). Якщо х 0 – точка екстремуму функції f, то =0 або функція f не є диференційованою у точці x 0 ( =¥ або не існує). Точки з області визначення функції f, в яких дорівнює нулю або нескінченності, або не існує, називають критичними точками функції f. Враховуючи це означення теорему Ферма можна сформулювати так: якщо х 0 – точка екстремуму функції f, то ця точка є критичною точкою функції f. Теорема Ферма стверджує, що точки екстремуму функції містяться серед її критичних точок. Але не кожна критична точка функції є точкою екстремуму цієї функції. Виділити точки екстремуму серед її критичних точок допомагає достатня умова існування точки екстремуму функції. Достатня умова існування точки екстремуму функції. Нехай функція диференційована в околі критичної точки x 0, за винятком, можливо, самої точки x 0, в якій функція f неперервна. Тоді: 1) якщо при переході точки x через точку x 0 змінює знак з “+” на “–”, то точка x 0 є точкою максимуму функції f, а якщо – з“–” на “+”, то точка x 0 є точкою мінімуму функції f; 2) якщо при переході точки x через точку x 0 не змінює знаку, то x 0 не є точкою екстремуму функції f.
Алгоритм знаходження інтервалів зростання і спадання, точок екстремуму і екстремумів функції y = f (x) 1. Знайти область визначення функції f і зобразити її на числовій прямій. 2. Знайти . 3. Знайти критичні точки функції f і позначити їх на числовій прямій. (Вони розіб’ють область визначення функції f на інтервали, на кожному з яких зберігає сталий знак.) 4. Визначити знак на кожному з утворених інтервалів. Для цього необхідно обчислити значення у будь-якій одній точці з кожного інтервалу. Інтервали, на яких є інтервалами зростання функції, а на яких – інтервалами спадання функції. 5. За характером зміни знаку при переході через критичні точки знайти точки екстремуму функції f: якщо при переході через критичну точку змінює знак з “–” на “+”, то ця точка є її точкою мінімуму; якщо змінює знак з “+” на “–”, то ця точка є її точкою максимуму; якщо не змінює знаку, то ця точка не є точкою екстремуму. 6. Обчисливши значення функції f в знайдених точках екстремуму, знайти екстремуми f. Критичну точку x 0 функції f, для якої =0, називають стаціонарною точкою функції f. З’ясувати, чи буде стаціонарна точка x 0 функції f точкою екстремуму цієї функції, можна по іншому, а саме, використовуючи другу похідну функції f: якщо , то x 0 – точка максимуму, а якщо , то x 0 – точка мінімуму функції f. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Якщо функція неперервна на відрізку [ a; b ], то за другою теоремою Вейєрштрасса вона набуває на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень, тобто існують такі точки х 1, х 2Î[ a; b ], що і . Точки х 1 і х 2 можуть бути як внутрішніми точками відрізка [ a; b ] (але тоді вони обов’язково є точками екстремуму, а, отже, критичними точками функції f), так і його межовими точками (тобто кінцями відрізка [ a; b ]). Звідси випливає такий алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції f, неперервної на відрізку [ a; b ]: 1. Знайти область визначення функції f. 2. Знайти . 3. Знайти критичні точки функції f і відібрати ті з них, які належать інтервалу (а; b). 4. Обчислити значення функції f у відібраних критичних точках і на кінцях відрізка [ a; b ], тобто в точках x = a і x = b. 5. Серед знайдених значень функції f вибрати найбільше і найменше. Це будуть найбільше і найменше значення функції f на відрізку [ a; b ]. Опуклість графіка функції. Графік функції y = f (x) називають опуклим вгору (опуклим вниз) на інтервалі (a; b), якщо всі точки графіка, за виключенням точки дотику, розміщені нижче (вище) будь-якої дотичної, проведеної до графіка функції на цьому інтервалі (рис.4.5, рис.4.6). Інтервал (a; b), на якому графік функції y = f (x) опуклий вгору (опуклий вниз), а на будь-якому ширшому інтервалі вже не є опуклим вгору (опуклим вниз), називають інтервалом опуклості вгору (опуклості вниз) графіка функції f. Достатня умова опуклості вгору (опуклості вниз) графіка функції. Якщо () для всіх х з інтервалу (а; b), то на цьому інтервалі графік функція f опуклий вниз (опуклий вгору). Точку х 0 з області визначення функції, в якій змінюється характер опуклості графіка функції, називають точкою перегину графіка цієї функції (рис.4.7) У точках перегину дотична перетинає графік функції. Точки з області визначення функції f, в яких дорівнює нулю або нескінченності, або не існує, називають критичними точками другого роду функції f. Достатня умова існування точки перегину графіка функції. Якщо x 0 – критична точка другого роду функції f і при переході через цю точку змінює знак, то x 0 є точкою перегину графіка функції y = f (x). Якщо ж при переході через точку x 0 не змінює знаку, то x 0 не є точкою перегину графіка функції y = f (x).
Алгоритм знаходження інтервалів опуклості вгору, опуклості вниз і точок перегину графіка функції y = f (x) 1. Знайти область визначення функції f і зобразити її на числовій прямій. 2. Знайти . 3. Знайти критичні точки другого роду функції f і позначити їх на числовій прямій. (Вони розіб’ють область визначення функції f на інтервали, на кожному з яких зберігає сталий знак.) 4. Визначити знак на кожному з утворених інтервалів. Для цього необхідно обчислити значення у будь-якій одній точці з кожного інтервалу. Інтервали, на яких , є інтервалами опуклості вниз, а на яких – інтервалами опуклості вгору графіка функції f. 5. За характером зміни знаку при переході через критичні точки другого роду знайти точки перегину графіка функції f: якщо при переході через критичну точку другого роду змінює знак, то ця точка є точкою перегину, а якщо не змінює знаку, то ця точка не є точкою перегину графіка функції f. Асимптоти графіка функції. Пряму а називають асимптотою графіка функції f, якщо відстань від довільної точки М графіка до прямої а прямує до нуля при необмеженому віддаленні точки М у нескінченність (рис.4.8). Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі. 1. Якщо =¥ або =¥, або =¥, то пряма х = х 0 є вертикальною асимптотою графіка функції f. 2. Якщо (), то пряма y = А є правою (лівою) горизонтальною асимптотою графіка функції f. Якщо = , то пряма y = А є горизонтальною асимптотою графіка функції f. 3. Якщо існують скінченні границі і (або ці ж границі при х ®–¥), то пряма y = kx + b є правою (лівою) похилою асимптотою графіка функції f. Якщо і , то пряма y = kx + b є похилою асимптотою графіка функції f. Горизонтальну асимптоту можна одержати як частковий випадок похилої асимптоти при k =0.
|