Доказательство

Необходимый минимум теорем с доказательствами

Теорема. Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательно b-а =0 и значит, а=b.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М = . Тогда " n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где - БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то " n>N Þ .

Теорема. Если , , то

1) ,

2)

Доказательство.

По теореме -необходимое и достаточное условие сходимости- , , где , .

1) .

Так как - БМП, то .

2)

- БМП, - БМП, -БМП. Следовательно, .

Теорема. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1' для этого e выполняется два условия:

1) ,

2)

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а:

Доказательство.

1) Необходимость.

и . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А. Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

Теорема. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x_n): x_n a. Рассмотрим (f (x_n)). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, что А=В.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точке а существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В () .

Теорема. 1) Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций в точке а является бесконечно малой функцией в точке а.

2) Произведение бесконечно малой функции в точке а на ограниченную в окрестности точки а функцию является бесконечно малой функцией в точке а.

Доказательство.

1) Пусть f (x), g (x) - бесконечно малые в точке а функции. Докажем, что f (x)+ g (x) - бесконечно малая функция в точке а. Выберем . По определению: выполняется ,

выполняется .

Возьмём Þ выполняется .

Разность и произведение – аналогично: ,

(можно взять не , а ).

2) Пусть f (x) – ограничена в окрестности точки а, а g (x) - бесконечно малая функция в точке а.

Тогда по определению существует выполняется ;

выполняется .

Возьмём Þ выполняется Û .