Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Из числителя в знаменатель





(и обратно)

 

Если в книжке указан ответ к задаче (3 + √7)/2, а у вас получилось 1/(3 – √7) — не спешите искать ошибку в решении: ответ правильный — эти числа равны, потому что

(3 + √7)(3 – √7) = 32 – 7 = 2.

 

Вот несколько характерных примеров, где полезно перенести «иррациональность» из числителя в знаменатель или наоборот.

1. Найти сумму

1 + √2 + √2 + √3 +... + √99 + √100 .

 

Эта сумма мгновенно «сворачивается», если переписать её так:

(√2 – 1) + (√3 – √2) +... + (√100 – √99) = –1 + 10 = 9.

 

По выражению из статьи [1] «остаются крайние» (см. также [5]).

 

2. Доказать, что для любых натуральных m и n

  m n – √2   α n 2 ,
(1)

 

где α = √3 + √2.

Подобный факт мы использовали недавно при решении трудной задачи М514 ([2]).

В самом деле, всегда

  mn √2 n   = | m 2 – 2 n 2| (m + n √2) n (m + n √2) n ,
(2)

 

поскольку число | m 2 – 2 n 2| — целое и отлично от 0 (равенство m 2 = 2 n 2 невозможно — подумайте, почему!). Если бы выполнялось неравенство, противоположное (1), то должно было бы быть m < n √2 + 1/α n и

n (m + n √2) < n ( 2 n √2 + α n ) = 2 n 2√2 + 1 √3 + √2 =

 

= 2 n 2√2 + √3 – √2 ≤ n 2(2√2 + √3 – √2) = α n 2.
(3)

 

Но из (2) и (3) следует (1). Значит, наше предположение неверно, то есть (1) выполнено.

Неравенство (1) показывает, что число √2 сравнительно плохо приближается дробями с небольшими знаменателями; аналогичное неравенство (только с другим коэффициентом α) выполнено не только для √2, но и для любой «квадратичной иррациональности». Разумеется, (1) выполнено и при всех α > √3 + √2, но константа √3 + √2 здесь не наименьшая из возможных. Вопросы о приближениях квадратичных иррациональностсй рациональными числами — далеко продвинутая и важная для приложений область теории чисел ([3], [4]); с приближениями числа √2 мы ещё встретимся ниже (см. упражнение 4).

[Если при решении этой задачи рассмотреть отдельно случаи n =1 и n ≠1, то можно показать, что

  m n – √2   π n 2 .

 

Оно лишь немного сильнее, чем неравенство (1), поскольку

π = 0,3183... > 0,3178... = √3 + √2 ,

 

зато выглядит гораздо эффектнее.

Помню, как в мою бытность студентом, на лекциях по алгебре наш профессор говорил: «Корень из трёх — это, примерно, 1,73; корень из двух — 1,41. Поэтому их сумма равна... (следовала пауза, необходимая для сложения этих чисел "в столбик") 3,14. А это есть?..» (он поворачивался к аудитории и сразу несколько человек говорили "пи") «Ну, вот», — с удовлетворением заключал профессор, выписывая окончательное "равенство": √3 + √2 = π.:) — E.G.A. ]

 

3. Найдите предел последовательности an = (√ n ² + 1 – n) n.

Преобразуем an так:

(√ n ² + 1 – n) n = n n ² + 1 + n = 1 + √1 + 1/ n ² .

 

Теперь ясно, что an возрастает и стремится к пределу 1/2.

В противоположность предыдущему примеру здесь мы имеем дело с хорошим приближением: √ n ² + 1 – n < 1/2 n.

 

4 (M532). Даны две последовательности an = √ n +1 + √ n и bn = √4 n +2. Докажите, что

а) [ an ] = [ bn ],

б) 0 < bnan < 1/16 nn.

В разности bnan появляется «тройная иррациональность»; к таким иррациональностям мы ещё вернёмся (см. задачу 8), но пока мы будем рассматривать √ n +1 + √ n = an как одно целое. Заметим, что величина an 2=2 n +1+2√ n (n +1), очевидно, заключена между 4 n +1 и 4 n +2= bn 2, поскольку n < √ n (n +1) < n +1. Итак, мы уже получили an < bn — левое неравенство в б). Кроме того, число bn 2 = 4 n +2, дающее при делении на 4 в остатке 2, не может быть полным квадратом (проверьте!), поэтому квадрат целого числа [ bn ] не больше 4 n +1; из неравенств [ bn ] ≤ √4 n +1 < an < bn вытекает а). Теперь осталось оценить разность bnan сверху. Посмотрите, как здесь дважды работает переброска «сопряжённого» числа в знаменатель:

√4 n +2 – √ n – √ n +1 = 2 n + 1 – 2√ n (n + 1) √4 n + 2 + √ n + √ n + 1 =

 

= (√4 n + 2 + √ n + √ n + 1)(2 n + 1 + 2√ n (n + 1) )

 

(тут, конечно, нам повезло:
разность квадратов (2 n + 1)2 – 4 n (n + 1) равна 1)

 

(2√ n + √ n + √ n)(2 n + 2 n) = 16 nn .

 

Заметим, что и эта оценка очень точная. Но убедиться в этом (и вообще исследовать поведение функции с многими радикалами) лучше уже не с помощью алгебраических преобразований, а средствами анализа — заменить переменную n на h = 1/ n и воспользоваться формулой Тейлора √1 + h = 1 + h /2 – h 2/8 +... (См. [6].)

 

Date: 2015-07-02; view: 1672; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию