Основные теоремы о пределах

Теорема (о предельном переходе в равенствах). Если в некоторой окрестности точки значения функций f(x) и g(x) совпадают, то их пределы в этой точке равны:

f(x)=g(x) => .

Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство f(x)≤ g(x), то верно и неравенство: .

Теорема. Предел постоянной равен самой постоянной: .

Док-во. Проводится на основании определения, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда при .▲

Теорема (о единственности предела). Функция не может иметь более одного предела в данной точке.

Док-во. Предположим противное. Пусть и , . Тогда по теореме о связи предела и БМ:

- БМ при ,

- БМ при . Вычитая эти равенства, получим:

.

На основании свойства 1 БМФ это есть БМ. Переходя в этом равенстве к пределу, получим:

,

.

Получено противоречие, доказывающее теорему.▲