Алгебраическая форма комплексных чисел

Комплексные числа и действия над ними

Алгебраическая форма комплексных чисел

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел и , для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:

если , (1)

, (2)

. (3)

Из формул (2) и (3) вытекают, в частности, соотношения

,

которые показывают, что операции над комплексными числами вида совпадают с операциями над действительными числами . Поэтому комплексные числа вида отождествляются с действительными числами: .

Особую роль играет число , которое называется мнимой единицей.

Из формул (2), (3) вытекают также равенства

Итак, каждое комплексное число можно представить в виде . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число называется действительной частью, а – мнимой частью комплексного числа . Для этих частей приняты следующие обозначения:

.

Комплексное число называется сопряженным с комплексным числом .

Число называется модулем комплексного числа . Очевидно, , причем, , тогда и только тогда, когда . Модуль действительного числа совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Отметим две формулы: , , которые вытекают из определений , и равенства

.

Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению. Если , ,

то ;

= = = .

Пример 1. Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел , .

Решение. = = = ,

= = = ,

= = =

= = = ,

= = = = .