Решение. Для заданного вала круглого поперечного сечения (рис

Задача № 2.

Для заданного вала круглого поперечного сечения (рис. 18) построить эпюры крутящего момента М_х и максимального касательного напряжения t_max; определить из условия прочности диаметр вала, округлив полученное значение до ближайшего стандартного диаметра; найти полный угол закручивания вала, приняв значение модуля сдвига стали МПа.

Данные для расчета: М ₁ = 1,2 кН×м, М ₂ = 1,8 кН×м, М ₃ = 1,9 кН×м, М ₄ = 1,5 кН×м, а = 0,2 м, b = 0,3 м, с = 0,4 м.

Решение

1. Изобразим расчетную схему вала в соответствии с данными (см. рис. 18, а) и составим уравнение равновесия моментов относительно оси х для вала и найдем из него момент заделки М_А:

;

кН.

Знак «-» означает, что момент заделки М_А направлен не против хода часовой стрелки, как предположили вначале, а по ходу часовой стрелки (см. рис. 18, а). На расчетной схеме показываем действительное направление момента заделки М_А и в дальнейших расчетах этот знак «-» не учитываем.

2. Разбиваем вал на участки. Границами участков являются сечения, в которых действуют моменты , . Число участков п = 4.

3. На каждом участке проводим секущую плоскость, для отсеченной части вала (левой или правой) составляем уравнение равновесия моментов относительно оси х. Из этого уравнения находим значение крутящего момента на соответствующем участке (см. рис. 18, б):

участок 1:

кН×м;

участок 2:

кН×м;

участок 3:

кНм

участок 4:

кН×м.

Рис. 18

По найденным значениям строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 18, в).

4. Диаметр вала по длине не изменяется, то есть . Поэтому наибольшие касательные напряжения в сечениях вала найдем по формуле , где - момент сопротивления круглого сечения при кручении (полярный момент сопротивления). Эпюра наибольших касательных напряжений в общем виде показана на рис. 18, г.

5. Опасное сечение вала определяется по эпюре М_х: кН×м.

Из условия прочности находим диаметр вала

, тогда м³ = 40 см³ и

см = 58,8 мм.

Округляем найденное значение d до ближайшего большего значения стандартного диаметра и окончательно принимаем d = 60 мм или d = 6 см.

Находим численные значения наибольших касательных напряжений на участках вала при этом значении диаметра определив, что

см³.

Па = 23,5 МПа;

Па = 52 МПа;

Па = 7 МПа;

Па = - 35,4 МПа.

По найденным значениям строим эпюру наибольших касательных напряжений (рис. 18, д). Из этой эпюры видно, что во всех сечениях вала выполняется условие прочности МПа.

6. Углы закручивания на участках вала найдем по формуле . Здесь l_i – длина i –го участка; МПа – модуль сдвига стали; см⁴ – полярный момент инерции круглого сечения вала; Н×м² - жесткость поперечного сечения при кручении.

Определим углы :

рад = 0,11 град;

рад = 0,37 град;

рад = 0,07 град;

рад = - 0,25 град.

Полный угол закручивания вала, то есть угол поворота сечения В относительно неподвижного сечения А найдем, суммируя алгебраические значения углов :

град.