Ударные волны

1. Образование ударной волны в нелинейной среде

2. Динамика ударной волны

3. Физические оценки

1.

В случае сверхкоротких импульсов нужно учитывать нелинейные эффекты высшего порядка. Одним из них является дисперсия нелинейности, связанная с зависимостью групповой скорости от интенсивности. Впервые эффект был рассмотрен в жидких нелинейных средах.

i = + i – ,

s= , где период оптической волны 2π/ . Для видимого света = 2 фс.

Рассмотрим бездисперсионный случай с =0, 𝛼=0. Введем нормированную длину Z=z/ .

+ s () = i

Представим решение U в форме амплитудной и фазовой части

U=

Полученная на основе параметризации система будет иметь вид:

Решаем первое уравнение: общее решение записывается в виде I(z,τ)=f(τ-3sIz). Уравнение можно решить методом характеристик. Суть метода заключается в том, что каждая временная точка τ движется вдоль прямой линии от начального значения и наклон этой линии зависит от интенсивности, где I(0,z)=f(z).

2.

Пусть f(τ)= , тогда I(z,τ)=exp(–

Чтобы получить форму импульса для некоторой величины I(z,τ), нужно выразить τ для каждого z. С физической точки зрения распространяясь в световоде, импульс становится асимметричным, его максимум смещается на задний фронт.

x=sZ. Пик импульса движется со скоростью меньшей, чем крылья. В конце концов фронт должен стать вертикальным.

Укручение заднего фронта приводит к образованию оптической ударной волны. Критическую длину формирования ударной волны определяют из последнего уравнения, устремляя к бесконечности.

≈

Укручение волнового фронта приводит к спектральному уширению ФСМ. Спектр можно получить, взяв фурье-преобразования функции U. Спектр на выходе будет иметь вид

Пиковая интенсивность больше для красных компонент спектра, чем для синих. Большое уширение спектра в синей области. Эти две особенности спектра качественно объясняются изменениями формы импульса вследствие укручения волнового фронта. Во-первых, спектр асимметричен, т. к. асимметрична форма импульса. Во-вторых, более крутой задний фронт импульса дает большее уширение спектра в синей области, так как из-за ФСМ синие компоненты образуются на заднем фронте.

3.

Пусть имеется пикосекундный импульс

1) =1псек, = 1Вт, =100 км.

На практике ударная волна не может быть из-за ДГС.

Чем больше длина образования волны, тем сильнее проявляется дисперсионный эффект.

2) = 100фсек, = 1кВт, < 1 м.