Пример задачи моделирования

Необходимо спроектировать ёмкость в виде тела вращения фиксиро­ванного объёма V0 и оптимальных размеров. Ёмкость изготавливается из листового железа, путём штамповки и сварки. В качестве критерия опти­мальности могут выступать:

1. Общая площадь поверхности S.

2. Длина сварного шва L.

Дополнительные условия: радиус основания R должен удовлетворять ограничениям R1 ≤ R ≤ R2, где R1, R2 – заданные числа

Например, тело представляет собой прямой круговой цилиндр. Его параметры: Н – высота цилиндра и R – радиус основания.

R

H

Расчетные формулы:

V = πR² Н (1)

S = 2 S_осн + S_бок = 2πR² + 2πRН (2)

L = 4 πR + Н (3)

являются исходной информацией для составления модели.

Опишем процесс моделирования.

1. Составление модели описания. Обозначим q – выбранный крите­рий оптимальности (L или S). Возможны два варианта структуры модели.

Двухпараметрическая модель имеет вид:

q(R, H) ® min (4)

V(R, H) = V0 (5)

R1 £ R £ R2 (6)

При этом варианте модели необходимо решить задачу условной оптимиза­ции, т.е. найти минимум целевой функции (4) двух переменных при ограни­чениях (5) – (6).

Однопараметрическая модель. Выразим H из уравнения (5), получив выра­жение вида

H = H(R, V0). (7)

Подставив (7) в (4), получим целевую функцию одной переменной R:

q(R, H(R, V0)) ® min, (8)

которую надо минимизировать при ограничении (6).

Анализ вариантов. Проведем анализ каждого варианта модели по критериям универсальности, точности, адекватности, экономичности. Результаты анализа позволят выбрать тот или иной вид модели.

С точки зрения универсальности и адекватности оба варианта иден­тичны, поскольку имеют один источник получения – формулы (1) – (3) и от­личаются только формой представления. По показателю точности модели не имеют принципиальных отличий, т.к. в данном случае точность определяется используемой моделью решения, а не моделью описания.

При оценке экономичности каждого варианта следует учитывать не только сложность самой модели, но и наличие определенного инструментария решения задачи. Так, при использовании мощных средств оптимизационного моделирования, например пакета MathCad, задача (4) – (6) может быть сравнительно легко решена без специальных преобразований. При отсутствии специальных средств оптимизации определяющее значение будет иметь сложность модели. Поэтому, если уравнение (5) разрешимо относительно Н, то предпочтение следует отдать однопараметрической модели (6), (8). В противном случае однопараметрическую модель невозможно построить и придется использовать двухпараметрическую.

В рассматриваемом примере уравнение (5) определяется формулой (1) и имеет вид πR² Н = V0, которое разрешимо относительно Н. Значит, в данном случае следует строить однопараметрическую модель.