Теоретико-множественное задание моделей

В самом общем случае (на концептуальнос уровне) модели изменения входного воздействия в виде функции пеpеxода и в виде функции выxода задаются в виде соответствия.

Соответствие [12] ¾ это способ (закон) сопоставления элементов хÎХ с элементами yÎY так, что имеется возможность образования пар (двоек) (х,y), причем для каждого элемента хÎХ возможно указать элемент yÎY, с которым сопоставляется элемент х. В сопоставлении могут участвовать не все элементы Х и Y. Для задания соответствия необходимо указать:

- множество Х, элементы которого сопоставляются с элементами другого множества;

- множество Y, с элементами которого сопоставляются элементы множества Х;

- множество QÍХ´Y, определяющее закон, согласно которому осуществляется соответствие, т.е. перечисляющее все пары (х,y), участвующие в сопоставлении.

Соответствие, обозначаемое через q, представляет собой тройку множеств q = (Х, Y, Q), где Х ¾ область отправления соответствия, Y ¾ область прибытия соответствия, Q ¾ график соответствия, QÍХ´Y. Очевидно, что проекция Пр₁QÍХ, а Пр₂QÍY, причем множество Пр₁Q называется областью определения соответствия, а проекция Пр₂Q ¾ областью значений соответствия.

Модели динамичеcкой cиcтемы могут иметь вид функции и в этом случае говорят о существовании функционального отображения, как соответствия, для которого область определения Пр₁Q совпадает с областью отправления Х. То есть для всякого хÎХ существует такой элемент yÎY, что двойка (х,y) Î Q.

Отображение q: X®Y называется функцией, если оно является однозначным, т.е. для любых пар (x₁,y₁)Î q и (x₂,y₂)Î q, если х₁=х₂, следует y₁=y₂.

Модели динамичеcкой cиcтемы могут быть также заданы в соответствии со способами задания соответствий.

При теоретико-множественном задании определяют множества Х={х₁,х₂,…,х_n}, Y={y₁,y₂,…,y_m} и график Q={(х_i,y_j)}, хÎХ, yÎY , .

При матричном способе задания соответствие задается в виде матрицы инцидентности R_Q, которая имеет вид прямоугольной таблицы размером n´m. Элементы х_iÎХ соответствуют строкам матрицы R_Q, а элементы y_jÎY соответствуют столбцам. На пересечении х_i строки и y_j столбца ставится элемент r_ij=1, если элемент (х_i,y_j)ÎQ, и r_ij=0, если (хi,y_j)ÏQ.

При графическом способе соответствие задается в виде рис. 1.5, на котором элементы х_iÎХ ¾ кружки одной линии, элементы y_jÎY ¾ кружки другой линии, а каждая двойка (х_i,y_j)ÎQ обозначается стрелкой, идущей от кружка х_i к кружку y_j. Такое представление называется графиком.

Х={х₁,х₂,х₃,х₄}, Y={y₁,y₂,y₃},

Q={(х₁,y₁), (х₁,y₂), (х₂,y₁), (х₂,y₂), (х₃,y₂), (х₄,y₃)}

Рис. 1.5

Если сопоставлять элементы yÎY элементам множества Х, то получим соответствие q^-1 =(Y,Х,Q^-1), обратное соответствию q (инверсия соответствия q).

Исходя из приведенных выше определений множеств входных параметров Х=Х₁´Х₂´…´Х_m, выходных параметров Y=Y₁´Y₂´…´Y_r, состояний Z=Z₁´Z₂´…´Z_n определим задание моделей функций переходов и выходов, как соответствий.

Если учитывается в определении состояния в текущий момент времени входной параметр и состояние в предшествующий момент времени, то модель системы в виде функции переходов будет задана соответствием

f_П=(Х₁´Х₂´…´Х_m, Z₁´Z₂´…´Z_n, F_П). (1.5)

Данная модель устанавливает соответствие f_П между каждым векторным элементом X ={ х₁,х₂,…,х_m }Î Х₁´Х₂´…´Х_m и векторным элементом Z ={ z₁,z₂,…,z_n }Î Z₁´Z₂´…´Z_n; F_П ¾ график соответствия f_П.

Если учитывается в определении выходного параметра в текущий момент времени входной параметр и состояние или в предшествующий момент времени, или в текущий момент времени, то модель системы в виде функции выходов будет задана в виде соответствия

f_В ={[ (Х₁´Х₂´…´Х_m), (Z₁´Z₂´…´Z_n) ], (Y₁´Y₂´…´Y_r), F_В }. (1.6)

Модель устанавливает соответствие f_В между каждым векторным элементом (Х,Z) из множества [(Х₁´Х₂´…´Х_m), (Z₁´Z₂´…´Z_n)] и векторым элементом Y ={ y₁,y₂,…,y_r }Î Y₁´Y₂´ ´…´Y_r. F_В – график соответствия f_В.

Если учитывается в определении выходного параметра в текущий момент времени входной параметр и состояние в предшествующий момент времени, а также в текущий момент времени, то модель системы в виде функции выходов может быть задана в виде:

f_В ={[(Х₁´Х₂´…´Х_m)´(Z₁´Z₂´…´Z_n)], [ Z₁´Z₂´…´Z_n ],

(Y₁´Y₂´…´Y_r), F_В), (1.7)

т.е. модель в данном случае устанавливает соответствие f_В между каждым векторным элементом {(X, Z), Z } из множества {[(Х₁´Х₂´…´Х_m), (Z₁´Z₂´…´Z_n)], [ Z₁´Z₂´…´Z_n ]} и векторным элементом Y ={ y₁,y₂,…,y_r }Î Y₁´Y₂´ ´…´Y_r.

Можно применить более компактные записи моделей.

Модель системы в виде функции переходов может быть записана еще в следующем виде:

. (1.8)

Модель системы в виде функции выходов может быть задана и в таком виде:

(1.9)

или в виде

. (1.10)