Пример сравнения быстродействия матричных и скалярных операций

За умножением векторов и матриц в смысле линейной алгебры в MATLAB закреплен знак <*>. Определение произведения прямоугольных матриц дано в разделе 1.10.

Пример умножения матриц в матричной форме с помощью знака <*>:

>> A=ones(3)

A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> B=ones(3)

B =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

>> C=A*B

C =

3 3 3

3 3 3

3 3 3

В традиционных языках программирования умножение матриц в смысле линейной алгебры осуществляется в скалярной форме с помощью вложенных циклов.

Ниже приведен текст файл-функции умножения матриц D и E размера n×n в скалярной форме:

function G=Matr(D,E,n)

for i=1:n

for j=1:n

s=0;

for k=1:n

s=s+D(i,k)*E(k,j);

end

G(i,j)=s;

end

end

Сохраним этот текст в Matr.m. Теперь с помощью файл-функции Matr.m скалярное умножение матриц А и В можно реализовать следующим образом:

>> A=ones(3);B=ones(3);

>> Matr(A,B,3)

ans =

3 3 3

3 3 3

3 3 3

В этом примере умножение матриц осуществлено в скалярной форме. Результаты умножения матриц в матричной и скалярной формах совпадают.

Сравним теперь быстродействие обеих форм умножения матриц с помощью набора команд tic и toc (см. разд. 1.7).

Найдем оценку времени выполнения файл-функции Matr.m:

>> A=ones(3);B=ones(3);

>> tic,Matr(A,B,3);toc

elapsed_time =

Найдем теперь оценку времени умножения этих же матриц А и B в матричной форме:

>> tic,A*B;,toc

elapsed_time =

Так как матрицы А и В имеют небольшой размер 3×3, то оценочное время выполнения умножения в обеих формах практически равно нулю.

Проведем теперь сравнение по быстродействию операции умножения матриц А и В размером 1000×1000 с использованием этой операции в скалярной и в матричной формах:

>> A=ones(1000);B=ones(1000);

>> tic,Matr(A,B,1000);,toc

elapsed_time =

313.9780

>> tic,A*B;toc

elapsed_time =

8.5320

Следовательно, умножение в матричной форме матриц А и В размером 1000×1000 осуществляется в MATLAB примерно в ≈ 37 раз быстрее, чем в скалярной форме (независимо от быстродействия компьютера).

В рассмотренных примерах использованы матрицы c единичными элементами. Это связано с простотой генерации матриц. Матрицы А и В автоматически созданы командой ones (см. разд. 2.4).

Теперь создадим матрицы со случайными значениями элементов. Для этого используем встроенный генератор rand (см. разд. 2.4) равномерно распределенных случайных чисел. Оценка времени, которое затрачивается на выполнения их умножения в матричной форме составляет:

>> A=rand(1000);B=rand(1000);

>> tic,A*B;,toc

elapsed_time =

8.7530

Результат 8,75 с. практически такой же, как и для матриц c единичными элементами того же размера (8,53 с.).

Вывод: Там, где это возможно, вместо операторов цикла лучше применять матричные операции над массивами, которые исполняются в MATLAB намного быстрее.

Вопросы для самопроверки

1. Какие операции отношения определены над числами в MATLAB?

2. Какие логические операции над вещественными числами определены в MATLAB?

3. Какова иерархия приоритетов в выполнении математических операций, операций отношения и логических операций?

4. Как работают циклы for, while?

5. Как используется конструкция if-elseif-else для изменения хода программы в зависимости от нескольких условий?

6. Как работают операторы switch, break?