Системы счисления. Виды систем счисления. Перевод чисел в двоичную систему счисления. Арифметические операции в двоичной системе счисления

Общие понятия

Системой счисления называется совокупность приемов обозначения чисел - язык, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно.

Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа. Общий вид числа:

A = a_na_n-1...a₂a₁a₀

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

В техническом аспекте длина числа интерпретируется как длина разрядной сетки.

Диапазон представления D чисел в данной системе счисления - это интервал числовой оси, заключенной между минимальным и максимальным числами, представленными заданными разрядами.

Любая система счисления, предназначенная для практического использования, должна обеспечивать:

- возможность представления числа в заданном диапазоне чисел

- однозначность представления

- краткость и простота записи чисел

- легкость овладения системой, а также простота и удобство оперирования ею.

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - алфавит которых содержит неограниченное количество символов, причем количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от ее начертания.Позиция цифр в числе значения не имеет.

Непозиционные системы строятся по принципу аддитивности (англ.Add - сумма) - количественный эквивалент числа определяется как сумма цифр.

Пример:

I = 1

II = 2

III = 3

XXXI = 31

Позиционными называются системы счи сления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причем значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 1*10² + 1*10¹+1*10⁰ = 100 + 10 + 1

Общий вид для положительных целых чисел:

Здесь X - число, x_i - i-тый разряд числа, p - основание системы счисления

В десятичной системе счисления каждая единица старшего разряда равна десяти единицам младшего разряда.

Пример:

273,2₁₀ = 2*10² + 7*10¹ + 3*10⁰ + 2*10^-1

Развернутая запись числа:

X_p = ¦ (x₁p^m-1 + x₂p^m-2 +... + x_m-1p¹ + x_m + p⁰ + x_m+1p¹ +... + x_np^m-n)

x_i принимает значения 0, 1, 2,..., p -1

Двоичная система (p = 2) использует 2 цифры: 0 и 1.

Если основание системы счисления больше 10 и общепринятых цифр не хватает, используют другие символы.

Пример:

185,2₁₀

В9,4₁₆ = 11*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1

271,2₈ = 2*8² + 7*8¹ + 1*8⁰

2321,1₄ = 2*4³ + 3*4² + 2*4¹ + 1*4⁰ + 1*4^-1

10111001,01₂ = 1*2⁷ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2⁰ + 1*2^-2

Существует двоично-десятичная система. В такой системе каждая десятичная цифра кодируется определенной комбинацией цифр двоичной системы. Обозначение каждой десятичной цифры называется тетрадой.

Пример:

125₁₀ = 0001 0010 0101_2-10 (3 тетрады)

В общем, система распределения весов разрядов - 8421.