Однофазные цепи переменного тока

Цель задания - приобретение навыков анализа и расчета цепей переменного тока.

Задание.

1. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжение на каждом элементе цепи следующими методами:

а) проводимостей;

б) символическим методом эквивалентного преобразования схемы и узлового напряжения.

2. Составить баланс мощностей.

3. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений.

Исходные данные приведены в табл. 2.1, схема - в прил. II.

Таблица 2.1

Частота тока f = 50 Гц.

2.1. Пример расчета задания № 2

Находим величины реактивных сопротивлений:
X_L = wL = 2f 10^–3 = 314 L10^–3 Ом,

X_C = 1/wL = 1/(2C10^–6)= 10⁶/(314С) Ом,

где L - индуктивность, мГн, С - емкость, мкФ. Только в этих случаях допускается округление до целых чисел.

2.2. Расчет токов методом проводимостей

Находим величины реактивных сопротивлений в каждой ветви Х = Х_L – X_C, при Х(+) характер результирующего реактивного сопротивления индуктивный, при Х(-) - емкостный. В одной из ветвей возможен резонанс, когда Х_C = X_L, Х = 0. Составляем схему замещения. Рассмотрим пример (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Схема замещения имеет вид, показанный на рис. 2.2.

Z = R² +( X_L - X_C)²,

Z = R² + Х² .

Рис. 2.2

Находим активные и реактивные проводимости параллельных ветвей. Параллельная ветвь 2 (Х₂ - емкостный характер):

g₂ = R₂ / (R₂² + Х₂²); b₂ = - X₂ / (R₂² + Х₂²).

Параллельная ветвь 3 (Х₃ – индуктивный характер):

g₃ = R₃ / (R₃² + Х₃²); b₃ = Х₃ / (R₃² + X₃²).

В результате преобразования схема будет иметь вид (рис. 2.3).

Y₂ = g₂² + b₂²;

Y₃ = g₃² + b₃².

Рис. 2.3

Определяем эквивалентные проводимости двух ветвей:

g₂₃ = g₂ + g₃ ,

b₂₃ = b₃ – b₂ ,

Y₂₃ = = Y_ab .

Рис. 2.4

Характер проводимости b₂₃ определяется по знаку b₂₃: при (+) - индуктивный, при (–) - емкостный. Схема имеет вид, показанный на рис. 2.4.

На участке ab от проводимостей переходим к сопротивлениям, т.к. этот участок соединен последовательно с участком bс:

R_ab = g₂₃ /Y₂₃², X_ab = b₂₃ /Y₂₃².

При переходе к сопротивлениям схема замещения представлена на рис. 2.5, а.

а б в

Рис. 2.5

Определяем эквивалентное сопротивление схемы рис. 2.5, б и 2.5, в:

R_экв = R₁ + R_ab; X_экв = X₁ + X_ab; ;

j_экв = arctg (X_экв / R_экв).

Вычисляем ток I₁ первой ветви и источника по закону Ома.

I₁ = E / Z_экв, I_1a=I₁cosj_экв, I_1P=I₁sinj_экв.

Определяем напряжение на параллельном участке ab:

U_ab,aк = I₁R_ab; U_ab,p = I₁X_ab; = ,

где I_aк – активная составляющая тока; I_p – реактивная составляющая тока.

Вычисляем токи и углы сдвига фаз между токами и напряжениями в параллельных ветвях:

I­₂ = Y₂U_ab; I_2aк = g₂U_ab; I_2р = b₂U_ab; I₂ = ;

;

I₃ = Y₃U_ab; I_3aк = g₃U_ab; I_3р = b₃U_ab; I₃ = ; .

Проверка: I_1a = I_2a + I_3a; I_1р = I_2р + I_3р.

Значения модулей токов I₁; I₂; I₃ должны быть равны соответствующим значениям, полученным другими методами.

2.3. Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Представляем полные комплексные сопротивления каждой ветви в алгебраической и показательной форме.

Z = R + j(X_L - X_C) =Ze^±jj,

где модуль сопротивления Z = R² + X² ; j = arctg (X / R).

Знак (+) соответствует индуктивному сопротивлению, а знак (-) - емкостному.

Обратные преобразования Ze^±jj =  Zcosj  jZsinj.

При каждом преобразовании обязательно представлять вектор на комплексной плоскости. Отсчет показателя степени угла  производится против часовой стрелки, если  – положительный; по часовой, если  – отрицательный.

Z = Z ₂ Z ₃ / (Z ₂ + Z ₃).

Эквивалентное сопротивление цепи при смешанном соединении (рис. 2.6, 2.7):

Z _экв = Z ₁ + Z_{а b}.

Рис. 2.6 Рис. 2.7

Определяем токи в ветвях

= / Z _экв = I₁e ^{± jj} = I_1a  jI_1р;

= Z ₃ / (Z ₂ + Z ₃) = I₂e ^{± jj} = I_2a  jI_2р;

= Z ₂ / (Z ₂ + Z ₃) = I₃e ^{± jj} = I_3a  jI_3р.

Найденные значения токов должны быть представлены в алгебраической и показательной формах.

Проверяем правильность вычислений по первому закону Кирхгофа:

= + .

Находим напряжение на параллельном участке = Z _ab,
= Z ₂ или = Z ₃. Напряжение должно соответствовать ,найденному методом проводимостей.

2.4. Расчет методом узловых потенциалов

Определяем комплексные проводимости ветвей с точностью до четвертой значащей цифры (для схемы рис. 2.8).

Y ₁ = 1 / (Z₁e ^±jj1 ) =

= Y₁e ^±jj1 =  g₁  jb₁,

Y ₂ = 1 / (Z ₂e ^±jj2 ) =

= Y₂e ^{± jj2} =  g₂  jb₂,

Y ₃ = 1 / (Z₃e ^{± jj 3} ) =

= Y₃e ^{± jj3} =  g₃  jb₃.

Рис. 2.8

Выбираем направление токов I₁; I₂; I₃.

Определяем напряжение U_ab:
;

определяем токи в ветвях:

= () / Z ₁; = / Z ₂; = / Z ₃ .

Выполняем проверку по первому закону Кирхгофа.

2.5. Баланс мощностей

Баланс мощностей .

Мощность источника = = P_ист  jQ_ист,

где - сопряженный комплекс тока (знак перед (j) меняется на противоположный).

P_пр = I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃; Q_пр =  I₁²X₁  I₂ ²X₂  I₃²X₃,

где I₁, I₂, I₃ - модули комплексов токов.

P_ист = P_пр; Q_ист = Q_пр.

Погрешность вычислений не должна превышать 2 %.

2.6. Построение векторной диаграммы

Находим напряжение на каждом элементе схемы и строим векторную диаграмму (для схемы рис. 2.1), представляющую собой графическое изображение первого и второго законов Кирхгофа на комплексной плоскости.

= X_C1e ; = R₁;

= X_L1e ^j90 ; = X_C2e ;

= R₂ ; = X_L2e ^j90 ;

= X_L3e ^j90; = R₃ ;

= X_C3e .

Строим векторную диаграмму (рис. 2.9).

ВОПРОСЫ К ЗАДАНИЮ № 2

Линейные цепи однофазного синусоидального тока. Элементы цепи переменного тока. Аналитический и символический методы расчета цепей переменного тока. Баланс мощностей в цепи переменного тока.

ЗАДАНИЕ № 3