Электрическая ёмкость уединённого шара.

Выразив заряд q из формулы потенциала поверхности заряжённой сферы (4.10) и подставив его в формулу (7.6) получаем: (7.7)

Вычислим в качестве примера электрическую ёмкость земного шара в вакууме, где e = 1. Так как радиус земного шара R = 6,4·10⁶ м, то C =4pe₀ R =4·3,14·8,85·10^-12·6,4·10⁶= =7,1·10^-4 Ф.

Как видно из этого примера единица ёмкости фарад очень большая величина. На практике чаще используются производные единицы микрофарад(10^-6Ф), нанофарад(10^-9Ф),и пикофарад(10^-12Ф).

Конденсаторы - технические устройства, позволяющие накапливать заряд и аккумулировать электрическое поле в сравнительно небольших замкнутых объемах. Первый конденсатор изобрёл Питер Мушенбрук в г. Лейдене в 1745 г. (лейденская банка).

Как следует из примера 7.1, электрическая ёмкость уединённых проводников очень мала. Даже у столь грандиозного тела как Земля она не превышает одного миллифарада. Поэтому электрические конденсаторы - устройства для накапливания электрического заряда - конструируются в виде системы из двух проводников, имеющих, как правило, одинаковую геометрическую конфигурацию и разделённых прослойкой диэлектрика.

В зависимости от формы этих двух проводников - их называют обкладками конденсатора, различают плоские, сферические и цилиндрические конденсаторы.

Плоский конденсатор. Представляет собой два плоских параллельных друг другу проводника, разделённых тонким слоем диэлектрика (рис.41).

Найдём поле в плоском конденсаторе и вычислим его электрическую ёмкость.

Поле в конденсаторе Пусть на обкладках конденсатора одинаковые по величине, но разные по знаку заряды с поверхностной плотностью σ, так что | σ ₊| = | σ _-|. Левая обкладка на рис.41 заряжена положительно, правая - отрицательно.

Для вычисления потенциала точек поля внутри конденсатора полагаем потенциал отрицательной пластины равным 0. Ориентируем ось х по направлению силовых линий, начало совместим с положительной пластиной, тогда положение отрицательной пластины соответствует x = d.

Проинтегрируем выражение - dj = Edx от произвольной точки 0 < x < d до точки d.

(7.9)

На рис.43 показаны силовые линии и сечения плоскостью рисунка эквипотенциальных поверхностей (штриховые линии).

Поле в плоском конденсаторе однородно. Лишь на краях обкладок наблюдается нарушение однородности из-за провисания поля наружу.

б. Электрическая ёмкость плоского конденсатора найдётся из формулы (7.6), где j = U напряжение между обкладками, определяемое формулой (7.10) (7.11)

Сферический конденсатор образуется двумя проводящими концентрическими сферами(рис.44-а). Поле в пространстве между сферами создаётся только внутренней сферой. Поэтому напряжённость и потенциал поля в интервале R ₁< r < R ₂ определяется формулами (4.9) и (4.10), записанными для случая ε ≠ 1(вместо e ₀ входит произведение ee ₀).

Поле внутри малой сферы и вне большой равно 0 (рис.44-б).

Напряжение U между обкладками есть разность потенциалов поля точечного заряда между точками R ₁ и R ₂ (формула 4.10). (7.12)

Ёмкость сферического конденсатора . (7.13)

При R ₂ ® ¥ получаем ёмкость уединённого шара (формула 7.7).

Сферические конденсаторы не имеют широкого технического применения. В основном они используются в научных исследованиях, например, при изучении внешнего фотоэффекта.

Цилиндрический конденсатор образуется двумя проводящими коаксиальными цилиндрами (рис.45-а).

Напряжение между обкладками найдётся из формулы (4.25), где r ₀ = R ₂, r = R ₁. (7.14)

Здесь t - заряд, приходящийся на единицу длины цилиндров. Ёмкость цилиндрического конденсатора на каждую единицу длины равна (7.15)

Цилиндрические конденсаторы широко применяются в технических устройствах. Обычно они представляют собой керамическую трубку, на поверхности которой нанесены металлические слои, играющие роль обкладок. Формула (7.15) используется при вычислении волнового сопротивления коаксиальных кабелей.

Электрическая ёмкость элементов электрических устройств имеет часто большое значение для их нормального функционирования. Поэтому необходимо знание ёмкостей систем, не являющихся в обычном смысле конденсаторами. Примером такой системы является двухпроводная линия.

Энергия заряженного конденсатора. Рассмотрим процесс зарядки конденсатора путём переноса одноимённых зарядов с одной обкладки на другую. Пусть с левой обкладки конденсатора на рис.47 переносятся положительные заряды.

Перенос зарядов приводит к появлению поля в конденсаторе и должен совершаться за счёт работы внешних сил. Эта работа идёт на увеличение энергии электрического поля W.

dA = dW = Udq (7.19)

Но U = qçС, где q - заряд на правой по рис.47 обкладке, а С - ёмкость конденсатора. После интегрирования получаем:

(7.20)

Используя формулу q = СU, можно получить три выражения энергии

(7.21)

Поле кругового тока. Пусть проводник имеет форму окружности радиуса R. По проводнику течёт постоянный ток I. Вычислим магнитное поле на оси данного кругового тока в некоторой точке А, которая находится на расстоянии x от его центра.

Вычисление циркуляции B по любому контуру здесь представляет собой сложную задачу. Применение закона полного тока малоэффективно. Поэтому будем решать задачу интегрированием закона Био-Савара-Лапласа.

Выберем два диаметрально противоположных элемента тока Id l ₁ и Id l ₂ и определим суммарную индукцию их полей в точке А.

Нормальные к оси ОХ составляющие индукции d B _{1 n} и d B _{2 n} для каждой пары элементов токов взаимно уничтожаются, а составляющие вдоль оси ОХ суммируются. Так что

Здесь n - единичный правовращательный вектор площади контура, совпадающий здесь с положительным направлением оси ОХ.

Поскольку направление вектора d B определилось (вдоль оси ОХ), то в выражении закона Био-Савара-Лапласа для dB ₁ оставляем только численную компоненту. Угол между любым элементом тока Id l и проведённым из него в точку А вектором r равен 90°. Поэтому Индексы “1” и “2” у элементов тока и радиусов r были введены для упорядочения рисунка и рассуждений. Далее их опускаем. Приняв во внимание, что sin b = Rçr, интегрируем выражение по половине длины окружности от 0 до pR (потому что два элемента тока). Здесь S = pR ² - площадь контура. Выражение называют магнитным моментом тока. Поле на оси кругового тока изменяется так же, как поле на оси электрического диполя.

На достаточно большом расстоянии, когда r >> R, магнитное поле кругового тока, выглядит так же, как поле магнитного диполя, то есть двух одинаковых по величине и разных по знаку магнитных зарядов, лежащих на оси кругового тока по разные стороны его центра точки О. Поэтому взаимодействие полюсов постоянных магнитов, чьи поля создаются круговыми атомными токами, подчиняются закону Кулона для магнитных зарядов.Измерив силу взаимодействия двух контуров с током, можно ввести единицу измерения этих условных магнитных зарядов.

Поле короткого соленоида. Коротким называется соленоид, чья длина соизмерима с его диаметром. Вычисление циркуляции вектора В здесь так же представляет сложную задачу, поскольку индукция В изменяется не только в окрестности концов, но и вдоль оси соленоида.

Вычислим индукцию поля в произвольной точке О оси соленоида радиусом R, воспользовавшись формулой осевого поля кругового тока.

Участок соленоида длиной dl вдоль оси эквивалентен элементу кругового тока IN ₀ dl, где N ₀- число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Индукция поля dB, создаваемого этим элементом тока на оси соленоида в произвольной точке О, выразится формулой , где вместо тока I нужно подставить выражение IN ₀ dl. . Здесь n - единичный вектор, направленный вдоль оси соленоида и согласованный с током.

Индукция в точке О, создаваемая всеми витками соленоида, найдётся интегрированием по всей его длине. Выберем в качестве переменной интегрирования угол b между радиусом r и осью соленоида (рис.89). Тогда , . Отсюда . Подставляем и интегрируем вдоль оси x слева направо от точки A к точке C.

.Здесь b ₁ - угол между осью соленоида и направлением из точки О в точку А, b ₂- угол между осью и направлением в точку С. Если катушка очень длинная, то можно считать, что b ₁ = 0, b ₂ = p. Тогда формула переходит в формулу индукции поля внутри бесконечно длинного соленоида.

Магнитное поле одиночного движущегося заряда. Магнитное поле, создаваемое элементом тока Idl, логично рассматривать как сумму полей одиночных движущихся зарядов. Поэтому при малом отрезке dl можно записать:

Здесь B_e индукция магнитного поля, создаваемого одиночным движущимся зарядом, N - число этих зарядов в элементе тока Idl. Так как , где e - величина движущихся в токе зарядов, n - их концентрация, v - скорость дрейфа зарядов, S -площадь поперечного сечения проводника, и приняв во внимание, что nSdl = N - число зарядов в элементарном проводнике, получаем: . Знак вектора с элемента проводника d l перешёл на скорость дрейфа зарядов v. Это справедливо, поскольку направление вектора элемента тока Id l ещё в самом начале было определено через направление движения положительных зарядов.

Подставив это выражение в формулу и разделив обе части равенства на число зарядов N, получаем полe одиночного движущегося заряда Можно сказать, что поле равномерно движущегося заряда определяется формулой Био-Савара-Лапласа, в которой вместо элемента тока Id l стоит произведение заряда на скорость его движения e v.

БИЛЕТ 8

Электрический ток - направленное движение электрических зарядов. Если перемещаются элементарные заряды, например, электроны в металлах, ионы в газах и жидкостях, ток называется током проводимости. Если заряды много больше элементарных и связаны с макротелами, ток называется конвективным. Например, конвективный перенос объемного заряда в воздухе. Третьим случаем является электрический ток в вакууме. В настоящем параграфе речь пойдет только о токе проводимости.

Основной характеристикой тока является его величина i, определяющаяся отношением заряда, проходящего через поперечное сечение проводника, к времени: . (8.1)

Закон Ома для участка цепи. В 1826 г. немец Георг Ом установил, что ток в проводнике прямо пропорционален напряжению U на его концах: . (8.3)Здесь G - коэффициент пропорциональности, различный для разных проводников и называемый проводимостью.

Обратная проводимости величина R называется электрическим сопротивлением проводника постоянному току, R = 1 çG. Формула закона Ома принимает вид: (8.4)

Электрический ток, идущий в проводнике, пропорционален приложенному к концам проводника напряжению и обратно пропорционален сопротивлению проводника.

Единица тока в - ампер (А) - одна из 7 основных единиц в СИ. Единицу сопротивления ом (Ом) можно определить из закона Ома. Очевидно, [ R ] = [ U ] ç [ I ] то есть Ом = В ç А. Ом - это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на его концах 1 В идет ток 1 А.

Единица проводимости в СИ - сименс (Сим), Сим = Ом^-1.

Электрическое сопротивление проводников имеющих длину l и постоянное сечение S, определяется формулой, найденной Гэмфри Дэви в 1821 г (8.5)

где ρ - коэффициент пропорциональности, называемый удельным сопротивлением проводника. Численно величина ρ равна сопротивлению R проводника единичной длины и единичного сечения. Единица ρ в СИ – Ом×м.

Опыт показывает, что удельное сопротивление металлов растет с температурой по закону, приближающемуся на отдельных участках к линейному (8.6)

Здесь температурный коэффициент сопротивления, у чистых металлов приблизительно равен 1 ç 273 К^-1, у сплавов может изменяться в широких пределах, вплоть до отрицательных значений. Если механически деформировать проводник, то изменение его геометрических размеров также влияет на величину его сопротивления. По этому принципу устроены электрические тензометры, позволяющие измерять быстропеременные механические напряжения.

Закон Ома в дифференциальной форме. Пусть к концам проводника длиной l и сечением S приложено напряжение U. Преобразуем формулу закона Ома (8.7)

Отношение IçS = j - ток через единичное сечение проводника и называется плотностью тока. Отношение 1 çr = g называется удельной электропроводностью. Единица g - Сим/м. Поскольку направление движения положительных зарядов совпадает с вектором напряженности Е, то выражение для плотности тока можно записать в векторной форме: (8.8)

Это закон Ома в дифференциальной форме. Величины, входящие в него, определены в любой точке проводника.

Действие магнитного поля на движущийся электрический заряд. Поскольку магнитное поле действует только на проводник с током, логично заключить, что действие магнитного поля на проводник обусловлено действием поля на движущиеся заряды. Найдём силу действия магнитного поля на движущийся заряд.

Ток в проводнике I = jS = envS, где e - величина движущегося заряда, n - концентрация зарядов, v - средняя скорость их дрейфа.

Здесь l - вектор длины отрезка проводника, направленный по току, S - сечение проводника

Вектор l совпадает по направлению с вектором скорости и дрейфа положительных зарядов. Поэтому в формуле величины l и v можно поменять местами. .Произведение nlS = N представляет собой число зарядов в объёме проводника. Разделив силу Ампера на число N движущихся в проводнике зарядов, получаем силу действия магнитного поля на отдельный движущийся заряд. . Сила Лоренца.

Формулу получил в 90-х годах XIX в. Хендрик Лоренц в рамках классической электронной теории проводимости металлов.

Если в пространстве кроме магнитного поля есть ещё и электрическое, то на движущийся заряд e действуют две силы. Сила Лоренца всегда направлена по нормали к скорости v. Поэтому она изменяет скорость движения частицы только по направлению, но не по величине. Поэтому и кинетическая энергия заряженной частицы, движущейся со скоростью v << c в магнитном поле постоянной индукции B, остаётся практически неизменной.

Сила Лоренца не совершает работы, поэтому её относят к группе гироскопических сил.

Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда v ^ B. Пусть положительно заряженная частица с зарядом e влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям, т.е. v ^ B. Из формулы (14.11) следует, что f ^ B. Ускорение частицы, вызываемое силой Лоренца, также перпендикулярно B. Поэтому движение частицы происходит по окружности в плоскости, перпендикулярной B

Радиус окружности R найдётся из условия:

Величина радиуса тем больше, чем больше импульс частицы m v и чем меньше индукция поля B. Движение заряженных частиц в магнитных полях теоретически исследовал в 1895 г. Джозеф Лармор. Поэтому окружность, по которой движется заряженная частица в магнитном поле, называют часто ларморовской окружностью.

Зная радиус ларморовской окружности, описываемой частицей, можно найти период обращения частицы.

Период T ларморовского вращения заряженных частиц в магнитном поле не зависит от скорости их движения (иначе, от кинетической энергии), а определяется лишь индукцией магнитного поля B и удельным зарядом частиц eçm. Это обстоятельство играет важную роль в практике создания ускорителей заряженных частиц. Частота

называется циклотронной частотой вращения.

Движение заряженной частицы в магнитном поле, когда скорость v не перпендикулярна B. Если частица влетает в магнитное поле так, что её скорость v образует с вектором B угол, не равный 90°, то траекторией движения частицы является винтовая линия.

Если угол между векторами v и B равен a, то v_B = v× cos a, v_n = v× sin a.

В 1950 г. Игорь Тамм и Андрей Сахаров предложили использовать кольцевое поле в тороиде для удержания плазмы от размывания.

Зеркальные магнитные ловушки. В 1952 г. Герш Будкер и Ричард Пост предложили для удержания плазмы зеркальную магнитную ловушку. Она представляет собой осесимметричное магнитное поле, образованное двумя однонаправленными кольцевыми токами 1 и 2 с общей осью.

Области максимальной индукции магнитного поля, находящиеся в плоскостях этих кольцевых токов, называются магнитными пробками. При движении частицы в область более сильного поля скорость движения её по окружности v _n увеличивается, а скорость смещения её вдоль линий поля v _B уменьшается. В какой-то точке поля составляющая v _B обращается в нуль. Здесь происходит отражение частицы от магнитного зеркала. В результате частица дрейфует от одной пробки к другой.

Расстояние от полюса до полюса частица проходит за время примерно 0,3 c. Протон в такой геомагнитной ловушке может удерживаться до 100 лет.

В поясах существует динамическое равновесие. Внутри поясов частицы уходят из-за торможения, а их убыль компенсируется частицами, приходящими из космоса.

Радиационные пояса Земли были открыты в 1958 г. с помощью искусственных спутников Земли. Оказалось, что существуют два электронных пояса и одни протонный, в значительной степени перекрывающиеся между собой. Внутренний электронный 1 и протонный 2 начинаются примерно на одной высоте 1000 км над поверхностью Земли. Максимум концентрации протонного пояса 2 удалён от центра Земли примерно на три земных радиуса 3 R. Энергия протонов меняется от 40 МэВ на внутренней границе пояса до 0,5 МэВ на внешней. Максимум концентрации внутреннего электронного пояса 1 удалён от центра Земли на 1,5 МэВ, а максимум концентрации внешнего электронного пояса 3 – на 5 R

БИЛЕТ 9

электрическая цепь. Это система из источника тока, и электрически соединенных проводников различного сопротивления.

Источником тока называют элемент цепи, в котором происходит разделение электрических зарядов.

Силы, разделяющие заряды в ИТ, не являются кулоновскими, хотя, в конечном счете, имеют электромагнитную природу. В феноменологической теории эти силы принято называть сторонними. Процесс разделения зарядов сторонними силами совершается за счет какой-либо энергии. Например в генераторе электрической станции разделение происходит за счет механической энергии вращения ротора, а в гальваническом элементе разделение зарядов происходит за счет энергии химической реакции.

Электродвижущая сила (ЭДС). Вычислим работу сторонних сил по перемещению заряда в цепи. Для этого введем в закон Ома в дифференциальной Форме вектор напряженности сторонних сил E _ст: или (8.9)

Здесь jS = I - ток в цепи, одинаковый во всех её участках. Умножим выражение (8.9) скалярно на элемент длины проводника вдоль по току и проинтегрируем от точки 2 до точки 2 по внешней части цепи, содержащий гальванический источник тока (рис.51).

Полученная формула не несёт пока ничего нового. Она просто выражает закон Ома для участка цепи1-а-2, поскольку никаких сторонних сил на участке 1-а-2 в цепи с гальваническим источником тока нет и интеграл равен нулю. (Это не так в цепях, в которых действует ЭДС индукции). Но ситуация меняется, если точки 1 и 2 стянуть в одну так, чтобы одна из них пересекла источник тока. Тогда напряжение обратиться в нуль, U ₁₂ = 0 Сопротивление R ₁₂ перейдет в полное сопротивление цепи. Обычно его представляют как сумму сопротивлений источника тока r и внешней части цепи R. Выражение (8.10) принимает вид: (8.11)

Интеграл по замкнутому контуру (его называют циркуляцией) вектора напряженности E _ст здесь уже не равен нулю. Он определяет работу перемещения сторонними силами единичного положительного заряда по всей цепи. Эту работу называют электродвижущей силой источника тока и обозначают E. ЭДС - важнейшая характеристика ИТ. Как и напряжение она измеряется в вольтах.

Закон Ома для полной цепи представлен формулой (8.11). Обозначив интеграл буквой E придадим ему привычный вид: (8.12)

Ток в полной цепи пропорционален ЭДС источника тока E и обратно пропорционален полному сопротивлению цепи R + r.

Из формулы (8,12) следует, что ЭДС источника тока E равна сумме падений напряжений во внешней и во внутренней частях цепи (8.13)

Напряжение во внешней части цепи IR = U легко измеряется вольтметром, присоединённым к зажимам источника тока, но измерить напрямую падение напряжения внутри источника тока Ir нельзя, его можно лишь уменьшить, уменьшая ток в цепи. В пределе при R ®0 U ® E Можно сказать, что ЭДС источника тока E равна напряжению на его зажимах, при разомкнутой цепи. Это условие реализуется при измерении ЭДС методом компенсации.

Электромагнитная индукция и сохранение энергии. Проанализируем баланс энергии в явлении электромагнитной индукции. Для этого рассмотрим движение проводника с током в магнитном поле.

Допустим, проводник длинной l может скользить в однородном магнитном поле по проводникам, присоединённым к полюсам источника постоянного тока с ЭДС E ₀ (рис.115).

Подвижный проводник замыкает цепь, её сопротивление постоянно и равно R, ток в цепи i.

Для простоты полагаем, что сам проводник и направление его движения перпендикулярны вектору B. Работа перемещения проводника под действием силы Ампера F есть Здесь d Ф = Bldx = BdS – магнитный поток, пересечённый проводником при его перемещении на расстояние dx.

Поскольку сила Ампера складывается из сил Лоренца, не изменяющих энергию движения зарядов, то работа перемещения проводника может совершаться не за счёт энергии магнитного поля, а за счёт энергии источника тока с ЭДС E ₀. Приняв во внимание тепло Джоуля – Ленца, выделяющееся в проводнике, полная работа источника тока равна E ₀ idt = i ² Rdt + id Ф.Разделив обе части равенства на iRdt и разрешив его относительно тока i, получаем:

Очевидно, - d Ф çdt – ЭДС индукции. Она направлена на встречу ЭДС источника тока и уменьшает ток в цепи.

Формулу (16.6) получил Герман Гельмгольц в 1847 г. Она позволяет рассматривать закон электромагнитной индукции как следствие закона сохранения энергии.

Чем быстрее скользит проводник, тем больше линий B он пересекает, тем больше ЭДС индукции, тем меньше ток в цепи. И наоборот. Эта ситуация реализуется в якорях электрических двигателей. Чем больше нагрузка, тем медленнее вращается якорь, тем меньше возникающая в нём ЭДС индукции. Поэтому ток, протекающий по якорю, велик. Велика и потребляемая двигателем мощность.

С уменьшением нагрузки скорость вращения якоря увеличивается, увеличивается так же и ЭДС индукции, уменьшающая ток в цепи, и потребляемая двигателем мощность падает.

Механизм работы источника тока по перемещению проводника в магнитном поле состоит в следующем. Допустим, в проводнике есть свободные положительные и отрицательны заряды. Электрическое поле источника тока E направлено вдоль по проводнику (ось ОХ, рис.116).

Оно разгоняет свободные заряды до некоторой скорости v, совершая работу mv ² ç 2.

Если проводник находится в магнитном поле B (на рис.116 линии B направлены “от нас”), на заряды действует сила Лоренца f _m. Траектория движения зарядов искривляются в одну сторону. В результате наряду с составляющей импульса mv_x появляется нормальная к оси проводника составляющая mv_y. При соударении зарядов с узлами решётки именно эта составляющая создаёт силу Ампера.

Если проводник движется под действием этой силы, свободные заряды под действием этой силы, свободные заряды сталкиваются с “убегающими” узлами. Поэтому даже при упругом ударе их энергия после соударения уменьшается. Часть её идёт на совершение работы по перемещению проводника.

Вихревые токи Фуко. Если массивный проводник находится в быстро переменном магнитном поле, то благодаря его малому электрическому сопротивлению под действием ЭДС индукции в нём могут возбуждаться большие индукционные токи. Эти токи обнаружил по нагреванию проводников в 1855 г. Жан Фуко.

Токи Фуко тормозят движение проводников в магнитном поле. Они возникают в любом случае, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий проводник.

В индукционных электропечах тепло индукционных токов используется для плавки металлов. В бытовых микроволновых печах – для приготовления пищи.

Выделение же тепла в магнитопроводах нежелательно. С целью его уменьшения сердечники трансформаторов, якоря и статоры электродвигателей набирают из отдельных покрытых оксидным слоем тонких стальных пластин, а на высоких частотах используют сердечники из ферритов с большим удельным сопротивлением.

БИЛЕТ 10

Природа носителей электрического тока в металлах была установлена в следующих экспериментах.

Звучание телефона можно объяснить тем, что носители электрического заряда в металлах обладают инертной массой и сравнительно слабо связаны с кристаллической решеткой металла.

в. Опыты Ричарда Толмена с сотрудниками (Т.Стюард). 1916-1926 г, развивали идеи Мендельштамма Папалекси и позволили получить первые количественные результаты.

Катушка с большим числом витков раскручивалась вокруг своей оси, а затем резко тормозилась. Концы провода катушки могли скручиваться и были присоединены к баллистическому гальванометру. Магнитное поле земли тщательно компенсировалось проводниками с током. При резком торможении катушки гальванометр давал отброс.

Если m - инертная масса носителей электрического заряда, а e -их заряд, то тормозное изменение импульса носителей зарядов равно (mN) dv = Fdt = (eN) Edt (9.1)

Здесь N число носителей зарядов в объеме провода катушки.

Разделив на N и приняв во внимание, что E = Uçl, где U - напряжение на концах провода, а l - его длина, и что U = Ri; где R - сопротивление цепи, а i - протекающий в цепи ток, получаем изменение импульса единичного носителя зарядов.

(9.2)

Проинтегрировав по времени торможения катушки, получаем:

(9.3)

Линейная скорость вращения составляла v = 300 м/с, длинна провода катушки l = 500 м. Опыты с медной, алюминиевой, серебряной проволоками. При различных сопротивлениях цепи R и различных значениях измерявшегося гальванометром заряда q удельный заряд носителей оказался одинаковым и равным eçm = 1,6×10¹¹ Кл/кг. Это было близко к результатам, полученным Дж. Томсоном двадцатью годами ранее в опытах с катодными лучами.

Обобщение результатов перечисленных ответов позволило сделать следующие выводы:

Носители электрических зарядов во всех металлах одинаковы;

Носители электрических зарядов в металлах вполне материальны, обладают инерцией и слабо связаны с кристаллической решеткой металла.:

Удельный заряд носителей составляет eçm = 1,6×10¹¹ Кл/кг.

Поскольку к этому времени (конец 20-х годов XX века) Милликен определил элементарный заряд e = 1.6×10^-19 Кл, то оказалось возможным оценить инертную массу носителей. .

Носителями тока в металлах оказались электроны, обнаруженные ранее в катодных лучах (1897) и термоэлектронном облаке натриевых металлов. (1988, Т. Эдиссон).

В целом электропроводность следует рассматривать как явление переноса вещества и электрического заряда. Определяющим законом в последнем случае является закон Ома.

(9.4)

Электронная теория проводимости металлов. В первом десятилетии XX века Пауль Друде и Гендрик Лоренц построили классическую, т.е. основанную на уравнении Максвелла электронную теорию проводимости металлов.

Они исходили из того, что валентные электроны в металлах связаны со своими атомами настолько слабо, что могут легко перемещаться от одного атома к другому лишь за счет энергии теплового движения. Такая совокупность валентных электронов толковалась ими как электронный газ, подчиняющийся статике Максвелла Больцмана и являющийся по своим свойствам идеальным.

Идеальность электронного газа означает, что электроны проводимости не сталкиваются между собой, они соударяются лишь с узлами кристаллической решетки и находятся с ними в тепловом равновесии. Из этого условия можно оценить среднюю тепловую скорость электронов

Рассмотрим, как объясняет теория проводимости Друде-Лоренца Законы Ома и Джоуля-Ленца. Для упрощения оценок полагаем, что все электроны проводимости имеют одинаковую скорость теплового движения - U.

а. Закон Ома. Если внутри металла создавать поле E, то на хаотическое движение электронов накладывается движение, направленное с некоторой средней скоростью дрейфа v. Ток, текущий в проводнике сечением S, равен I = enSv, где n концентрация электронов проводимости, e их заряд. Плотность тока . (9.5)

Найдем среднюю скорость дрейфа v. Будем полагать, что электрон под действием силы e E в промежуток времени t от одного соударения с узлом решетки до другого движется с ускорением a и увеличивает свою скорость от 0 до . (9.6)

Поскольку движение электрона в электрическом поле равноускоренное, то средняя скорость равна половине максимальной; (9.7)

а плотность электрического тока равна . (9.8)

Формула (9.8) выражает закон Ома в дифференциальной форме в электронной теории. Коэффициент перед E расшифровывает макроскопическую характеристику проводника, удельную проводимость g через совокупность микрохарактеристик электронного газа.

Оценим среднее время t свободного пробега электронов проводимости на примере меди. Полагаем, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Если M молярная масса меди, d ее плотность, то концентрация свободных электронов . Подставив n в выражение удельной проводимости.

В промежуток времени t между двумя соударениями электрон проходит среднее расстояние , что составляет несколько десятков поперечных атомов.

Оценим среднюю скорость дрейфа v электронов проводимости в меди при напряженности поля E = 0,1 В ç м. Из формулы (9.7) получаем:

Скорость дрейфа в миллиард раз меньше тепловой скорости u = 10⁵ м/с.

Заметим, что напряженность E = 0.1 В/м не столь уж малая, как может показаться величина. Она соответствует напряжению 0,1 В на концах провода 1 м. При таком напряжении через медный провод сечением S = 1 мм² проходит ток.

Самоиндукция. Каждый контур, по которому идёт ток, создаёт магнитное поле, а поэтому пронизывается магнитным потоком собственного поля. Величина этого потока Ф пропорциональна току i, протекающему по контуру. Ф = L · i (16.7)

Коэффициент пропорциональности L называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.

При изменении тока в контуре изменяется и пронизывающий его магнитный поток. В результате в контуре наводится ЭДС самоиндукции.

Знак минус здесь показывает, что направление ЭДС самоиндукции противоположно направлению изменения тока. В результате изменение тока в контуре замедляется.

Например, если ток в контуре убывает, то возникающая ЭДС самоиндукции при этом направлена по току. Она препятствует уменьшению тока.

Если же ток в контуре возрастает, то ЭДС самоиндукции направлена против тока. Она тормозит нарастание тока.

Наличие индуктивности приводит к тому, что контур приобретает электрическую инертность. Она состоит в том, что любое изменение тока в контуре тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура L.

Этот факт хорошо иллюстрируется опытом А. Эйхенвальда. Две одинаковые лампочки Л₁ и Л₂ (6,3 В, 0,28 А) подключены параллельно к источнику постоянного тока с ЭДС E ₀ = 6 В. Последовательно с одной из ламп (Л₂ на рис.117) включена катушка на 3000-4000 витков. При замыкании цепи ключом Кл хорошо видно, что лампа Л₂ загорается позже лампы Л₁.

Явление самоиндукции открыл в 1832 г. Джозеф Генри. Его именем названа единица индуктивности в СИ. Определение её можно дать на основе формулы (16.8):

один генри (1 Гн) – это индуктивность такого контура, при изменении тока в котором со скоростью 1 А в секунду в контуре наводится ЭДС индукции 1 В.

Индуктивность тороидального соленоида. Пусть на тороидальный сердечник с магнитной проницаемостью μ и длиной осевой линии l намотано N витков изолированного провода (рис.118). Если по виткам катушки идёт ток I, то, как показано в примере 13.2 на с.__, магнитная индукция поля в сердечнике равна

Магнитный поток, пронизывающий каждый виток, равен BS, а поток, через все витки, в N раз больше,

Здесь S – площадь сечения сердечника.

Этот же магнитный поток можно определить ещё как магнитный поток произвольного контура с индуктивностью L, то есть Ф = LI. Отсюда ; Þ

Индуктивность катушки растёт пропорционально квадрату числа витков N ² и проницаемости сердечника m.

Эта формула применима так же для вычисления индуктивности L отрезка длинной l бесконечно длинного соленоида сечением S, содержащего на этом отрезке N витков.

Энергия магнитного поля. Если ток в контуре изменяется на величину di, то магнитный поток поля этого тока изменяется на величину d Ф = Ldi. Но это изменение потока d Ф сопряжено с работой тока dA = id Ф.

Если ток увеличивается, то работа тока идёт на увеличение энергии контура с током, так что dA = dW. Отсюда dW = dA = id Ф = Li d i. При увеличении тока от 0 до I энергия контура найдётся интегрированием:

Итак, контур индуктивностью L, по которому протекает ток I, имеет запас энергии LI ² ç 2. Это энергия магнитного поля, придающая электрическую инертность контуру. При замыкании цепи требуется время на накапливание этой энергии, а при размыкании – время на её расходование. Мерой электрической инертности контура является его индуктивность.

Плотность энергии магнитного поля. Для её вычисления рассмотрим секцию бесконечно длинного соленоида длинной l. Полагаем, что на этом отрезке l намотано N витков, магнитная проницаемость сердечника соленоида m, его сечение S (рис.119).

Поскольку соленоид бесконечно длинный, то всё магнитное поле, создаваемое этим соленоидом, находится внутри его. Магнитное поле, создаваемое током I, идущим по N виткам на отрезке длинной l, полностью заключено внутри объёма V = l S этого отрезка.

Энергия магнитного поля, заключённого в этом объёме V = l S, равна

Разделив на объём Sl, получаем плотность энергии магнитного поля в соленоиде

Комбинацию параметров в скобках NIçl можно выразить из формулы (13.10), определяющей индукцию магнитного поля в бесконечно длинном соленоиде. Подставив в (16.14), получаем:

Если в пространстве существуют одновременно электрическое и магнитное поля, то объёмная плотность энергии электромагнитного поля в целом равна сумме энергий электрического (7.22) и магнитного (16.15) поля:

БИЛЕТ 11

1. Законы электролиза. Электролизом называют процесс прохождения через электролит электрического тока. В это явление входят также все процессы электрохимического окисления восстановления, происходящие на электродах в момент прохождения электрического тока. В результате на электродах выделяются продукты разложения раствора.

Например, при электролизе воды на катоде выделяется газообразный водород, а на аноде газообразный кислород (рис.57).

На катоде: 4H⁺ + 4 e → 2H₂↑

На аноде: 4OH^- - 4 e → H₂O + O₂↑.

Положительные ионы, идущие на катод (отрицательный электрод), называются катионами. Отрицательные ионы, идущие на анод (положительный электрод), называются анионами.

а. Закон Ома для электролитов. Плотность электрического тока при направленном движении однозарядных частиц одного знака определяется формулой (9.5), , где - скорость дрейфа частиц в электрическом поле. В электролитах есть заряды обоих знаков, поэтому плотность тока есть сумма: (10.2)

. Закон Ома для электролитов (10.3)

Оба слагаемые в скобках положительные числа. Коэффициент перед Е есть удельная электропроводность электролита.

Если в электролите не одно-, а многозарядные ионы с валентностью z, то коэффициент электропроводности увеличивается в z раз. g = znea (b₊ - b_-). (10.4)

С ростом температуры электропроводность электролитов увеличивается. В нешироком диапазоне температур эта зависимость приближается к линейной и может быть представлена эмпирической формулой: g = g ₂₅[1 + b (t - 25)]. (10.5)

Здесь g ₂₅ электропроводность при t = 25°С, b - температурный коэффициент. Для сильных кислот b = 0,0164, для сильных оснований b = 0,0190, для солей b = 0,0220.

Температурный рост электропроводности объясняется увеличением концентрации свободных ионов и увеличением их подвижности за счет падения вязкости раствора.

б. Законы Фарадея. Их два.

Первый закон: масса m выделившегося на электроде вещества пропорциональна заряду q, прошедшему через раствор, m = kq. (10.6)

Здесь k коэффициент пропорциональности, его наэывают электрохимическим эквивалентом вещества. Численно он равен массе вещества, выделившегося на электроде при прохождении через электролит 1 Кл электричества. Например, у серебра Ag k = 1,118 мг ç Кл, у меди Cu k = 0,329 мг ç Кл.

Второй закон: электрохимический эквивалент вещества k пропорционален его химическому эквиваленту Э, . (10.7)

Здесь F коэффициент, его называют числом Фарадея.

Рассмотрим содержание второго закона. Если при осаждении на электроде массы m вещества прошел заряд q = Nez, где N число разрядившихся на электроде ионов, z их валентность, то k = mçq = mçNez. Но число молекул в массе m вещества равно N = N_A (m/M), где M молярная масса вещества. Отсюда . (10.8)

Очевидно, химический эквивалент вещества Э есть отношение молярной массы вещества к валентности, Э = Mçz. Так, у водорода H Э = 1 г ç моль, у кислорода O Э = 16 ç 2 = 8 г ç моль, у кальция Са Э = 40 ç 2 = 20 г ç моль и т.д.

Число Фарадея F есть заряд, необходимый для осаждения на электроде 1 химического эквивалента любого вещества. F = 1,6×10^-19×6× 10²³ = 9,6 ×10⁴ Кл.

Определение заряда ионов. Пользуясь законами Фарадея, можно определить заряд ионов разных веществ. Для этого нужно провести такой электролиз, в результате которого эти ионы, окисляясь или восстанавливаясь на электроде (отдают или принимают электроны), выделяются в виде нейтрального вещества выводятся из электролита.

Если масса выделившегося вещества m, то из законов Фарадея

. (10.9)

Таким путем можно определить кратность заряда иона по отношению к элементарному заряду. Например, ион водорода H⁺, его заряд +1,6×10^-19 Кл, z = 1, ион однозарядный. Ион кислорода О ^{- -}, есть заряд 3,2×10^-19 Кл, z = 2, ион двухзарядный, и т.д.

Примеры электролиза. Это один из современных методов получения материалов и улучшения их свойств.

а. Промышленное получение алюминия. Электролит - 10% раствор глинозема Al₂O₃ в криолите Na₃AlF₆ при температуре 950°С. Анод и катод изготовлены из прессованных угольных брикетов. Анод опускается в электролит сверху, катод располагается на дне стальной ванны. На катоде выделяется алюминий, на аноде кислород.

Диссоциация: 2Al₂ O₃ ® 4Al⁺⁺⁺ + 6О ^{- -}.

На катоде: 4Al⁺⁺⁺ + 12 е _- ® 4Al¯. На аноде: 6О ^{- -} - 12 е _- ® 3O₂,

3O₂ + 3С ® 3СO₂­.

Плотность алюминия r = 2,7×10³ кг/м³ больше плотности электролита. Поэтому чистый расплав алюминия собирается на дне ванны. Выделяющийся на аноде кислород соединяется с углеродом в оксиды 3СO₂ и СO.

д. Электролитическая очистка цветных металлов (рафинирование) основана на том, что для выделения на катоде металлов из раствора требуется некоторое минимальное напряжение. Его называют напряжением разложения электролита. У разных металлов оно разное. При электролитическом рафинировании напряжение на электродах подбирается таким, чтобы на катоде осаждался основной металл, а примеси переходили в раствор или оседали на дне ванны.

Например, нормальный электродный потенциал меди относительно водородного электрода сравнения +0,346 В. У Au и Ag эта величина больше, а у Ni, Zn - меньше. Если в электролит CuSO₄ (15%) + H₂SO₄ (10%) + H₂O в качестве анода погрузить медный слиток, полученный после огневой очистки, и пропускать при таком напряжении ток, то анод будет растворяться. Ионы меди будут осаждаться на катоде, благородные металлы не растворяясь, оседают на дно ванны, а ионы Ni⁺⁺, Zn⁺⁺ остаются в растворе.

Осаждая таким способом на готовые металлические изделия слои Au, Ag, Cu, Ni, Cr, Zn, можно создавать на поверхности этих изделий декоративные и защитные покрытия (гальваностегия).

Сопротивление, индуктивность и ёмкость в цепи переменного тока:

а. Цепь с активным сопротивлением R, то есть с таким сопротивлением, которое обусловлено рассеянием электронов на узлах кристаллической решётки проводника. Индуктивность и ёмкость активного сопротивления равны нулю.

Пусть в цепи (рис.131) действует внешняя синусоидальная ЭДС E = E_а sin wt. В случае квазистационарного тока в любой момент времени для контура справедливо 2-е правило Кирхгофа.

iR = E_a sin wt, (20.13)

Ток через активное сопротивление R совпадает по фазе с ЭДС. Так как напряжение на сопротивлении равно ЭДС, то можно сказать, что изменения тока и напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе (рис.132).

iR + u_C = E.. Но R = 0, следовательно, u_C = E.

Здесь u_C – напряжение на обкладках конденсатора.

Так как u _C = qçC, где q – заряд на обкладках конденсатора, то получаем: , или q = E_aC ×sin wt. Продифференцировав по времени t, получаем ток в цепи с ёмкостью.

(20.14)

Выражение есть амплитудный ток. Величину 1 çwС = X_C формально можно рассматривать как сопротивление конденсатора переменному току. Его называют ёмкостным сопротивлением. Оно тем меньше, чем больше ёмкость конденсатора С и частота переменного тока w.