Производная сложной и обратной функций. Вывод формул.

Рассмотрим y=f(x), x=f(x), тогда y=f(h(t)) является сложной функцией.

Найдем ( = = = t

Пусть -вывод формулы
=h( ), ( )= =

Формула производной сложной функции:

y=f(x) – производная функции x=g(y)- обратная функция

Пусть сущ-т произведения y в точке x= , т.е.

y()=

= = = -вывод формулы

Формула производной обратной функции:

17. Таблица производные основных элементарных ф-ций. Вывод одной из формул.

Y=

Y’( = =

=

18.Производные неявных ф-ций. Вывод правила дифференцирования неявных ф-ций. Пример применения.

Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной .

(пример того, как выглядит неявная ф-ция)

Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение не разрешимо относительно , оказывается возможным найти производную от по . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию как функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную .

Пример решения:

Задание. Найти вторую производную неявной функции .

Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции. В итоге получаем:

Из полученного равенства выражаем :

Для нахождения второй производной продифференцируем равенство еще раз:

Подставив вместо найденное выше выражение, получаем:

После упрощения получаем:

Из полученного равенства выражаем вторую производную :

Ответ.