Математическое моделирование сложных систем

Основные обозначения и определения

Концептуальная (содержательная) модель – абстрактная модель, определяющая состав и структуру системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие исследуемой системе, существенные для достижения цели моделирования.

Система S – совокупность элементов со связями и целью функционирования F.

Э лемент s есть некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли.

Связь L между элементами есть процесс их взаимодействия, важный для целей исследования.

Цель функционирования - задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением.

Параметры и переменные системы

Параметры системы - это характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале T.

Переменные бывают зависимые и независимые.

- Независимые переменные есть, как правило, входные воздействия (в том числе управляющие) ими могут быть также воздействия внешней среды.

- Зависимые переменные есть выходные характеристики (сигналы)

Общая схема математической модели

		v(t)

Математическая модель системы - множество переменных вместе с законами функционирования.

Непрерывно–детерминированные модели (D – схемы)

Данные схемы отражают динамику процессов, протекающих во времен и в системе.

Примеры моделей

Модель Мальтуса – описываетдинамику изменения некоторой популяции:

где a — некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью.

Решение уравнения:

Уточненное уравнение:

где x_s — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью.

Поведение модели структурно устойчиво.

Моде́ль Ло́тки — Вольтерра́ — модель межвидовой конкуренции.

где:

х – количество жертв

y – количество хищников

t – время

коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами

Модели в пространстве состояний

Дискретно–детерминиро-ванные модели (F – схемы)

Основным видом дискретно–детерминированных моделей является конечный автомат.

Конечный автомат - дискретный преобразователь информации, способный под воздействием входных сигналов переходить из одного состояния в другое и формировать сигналы на выходе. Количество состояний конечно.

Выходной сигнал автомата зависит не только от входных сигналов в данный момент времени, но и учитывает входные сигналы, поступающие ранее.

Автоматы делятся на синхронные и асинхронные в зависимости от способа введения автоматного времени.

Описание конечных автоматов

Абстрактно конечный автомат можно представить как математическую схему (F – схему), которая характеризуется шестью видами переменных и функций:

- конечное множество x(t) входных сигналов (входной алфавит);

- конечное множество y(t) выходных сигналов (выходной алфавит);

- конечное множество z(t) внутренних состояний (алфавит состояний);

- начальное состояние автомата z₀, ;

- функция переходов автомата из одного состояния в другое;

- функция выходов автомата.

Типы синхронных автоматов

В зависимости от способа определения выходного сигнала синхронные абстрактные конечные автоматы подразделяются на два типа:

- F – автомат первого рода, автомат Мили:

- F – автомат второго рода, автомат Мура:

Чтобы задать конечный F – автомат, необходимо описать все элементы множества

Пример конечного автомата

- состояние (state) –ситуация, при которой автомат осуществляет некоторую деятельность или ожидает некоторого события;

- событие (event) – происшествие, занимающее определенное положение во времени и пространстве;

- переход (transition) – переход из одного состояния в другое в ответ на событие.

Дискретно – стохастические модели (Р - схемы)

К дискретно – стохастической модели относится вероятностный автомат.

В общем, виде вероятностный автомат является дискретным потактным преобразователем информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически.

Частным случаем Р– автомата, задаваемого являются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминировано (Z– детерминированный вероятностный автомат, Y– детерминированный вероятностный автомат соответственно).

Пример Р-схемы

Y– детерминированный Р– автомат задан таблицей переходов и таблицей выходов:

Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состоянии z₂ и z₃.

Дискретно – непрерывные модели

Процессы в линейных импульсных и цифровых системах описываются дискретно – разностными уравнениями вида:

где x(n) –решетчатая функция входного сигнала;
y(n) –решетчатая функция выходного сигнала, которая определяется решением данного уравнения;

b_k – постоянные коэффициенты;

∆^k y(n) – разность к – го порядка; n – номер отсчета.

Основным математическим аппаратом моделирования цифровых систем является Z– преобразование.

Непрерывно–стохастические модели (Q– схемы)

Q– схемы применяются при формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

Характерным признаком для функционирования таких систем или сетей является случайное появление заявок на обслуживание.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания и, собственно, сам процесс обслуживания заявки.

Модель СМО

Основные операции мат. моделирования:

1. Линеаризация

2. Идентификация

3. Оценкаадекватности (точности) модели

4. Оценка устойчивости модели

5. Оценка чувствительности модели

6. Организация вычислительного эксперимента для моделирования

Линеаризация

Линеаризация - процесс замены нелинейных зависимостей мат.модели линейными или кусочно линейными зависимостями с целью упрощения процесса моделирования.

Методы линеаризации:
1) Метод логарифмирования - применяется к степенным функциям;
2) Метод обратного преобразования - для дробных функций;
3) Комплексный метод - для дробных и степенных функций.

Идентификация

Идентификация - процесс поиска значений параметров (структуры) мат. модели.

Цель идентификации - построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей, гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений.

Наиболее часто используемыми на практике методами идентификации систем являются:

- метод наименьших квадратов,

- метод максимального правдоподобия,

- метод байесовских оценок,

- метод марковских цепных оценок,

- метод эвристик,

- экспертное оценивание и др.

Оценка адекватности модели

Адекватностью называется совпадение модели исследуемой системы в отношении цели моделирования.

Процедура оценки адекватности основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них:

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Для проверки адекватности необходимо иметь:

- исчерпывающую информацию о реальном случае (что всегда трудно, а подчас бывает практически невозможно);

- результаты контрольного вычислительного эксперимента, -воспроизводящего известный реальный случай;

- критерий оценки точности математической модели;

- критерий проверки непротиворечивости математической модели.

Оценка устойчивости модели

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует.

Для проверки гипотезы об устойчивости результатов может быть использован критерий Уилкоксона, который служит для проверки того, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности (т. е. обладают ли они одним и тем же статистическим признаком).

Оценка чувствительности модели

Такую оценку проводят по каждому параметру X_k в отдельности. Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен.

1) вычисляется величина относительного среднего приращения параметра X_k

;

2) проводится пара модельных экспериментов при значениях и средних фиксированных значениях остальных параметров. Определяются значения отклика модели и ;

3) вычисляются ее относительное приращение наблюдаемой переменной Y_k

Виды имитационного моделирования

Характеристики методов генерации случайных чисел

Типовой подход к моделированию

Системный подход к моделированию