Билет 2. отображения. основные элементарные функции. Композиция отображений. Обратная функция.

1.Отображение множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить параллельное проектирование одной плоскости на другую, стереографическая проекция сферы на плоскость.

2.

· Показательная функция с основанием а, а>0, а не равно 1) – f(x)=a^x

· Логарифмическая функция с основанием а, а>0, а не равно 1 – f(x)=logaX

· Тригонометрические функции f(x)=SinX,CosX,tgX и тд.

· Обратные тригонометрические функции f(x)=arcsinX,arccosX и тд.

3. Пусть заданы отображения и , причем образ отображения содержится в области определения отображения . Тогда композицией отображений¹⁾ и называется отображение такое, что для всех .

Пример 1. Пусть , а , тогда является композицией и .

Предложение 1. Композиция отображений ассоциативна, то есть если

— три отображения, то .

4. Обрамтная фумнкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

· для всех

· для всех

Билет 3. последовательности. Предел последовательности (опр, примеры). Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Единственность предела, арифметика бесконечно малых и сходящихся последовательностей.

1. Пусть задано некоторое множество элементов произвольной природы. | Всякое отображение множества натуральных чисел в заданное множество называется последовательностью (элементов множества ).

Образ натурального числа , а именно, элемент , называется -ым членом или элементом последовательности, а порядковый номер члена последовательности — её индексом.

Последовательности вида

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

или

иногда используются фигурные скобки:

Допуская некоторую вольность речи, можно рассматривать и конечные последовательности вида

,

которые представляют собой образ начального отрезка последовательности натуральных чисел.

2. Определение предела последовательности - Число A называется пределом последовательности x_n, если

"для любого U (A) найдётся N: " n > N x_n принад. U (A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение предела последовательности - Число A называется пределом x_n, если

" для любого эпсилон > 0 найдётся N: для любого n > N |x_n-A |< эпсилон

Бесконечно малая

Последовательность называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .

Бесконечно большая

Последовательность называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Сравнение бесконечно малых

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или β≺α.

· Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или α≺β.

· Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малостиотносительно бесконечно малой .

4.