Th Умножения для эквивалентных функций

Пусть определены на Е и .Тогда, если , то (б/д)

Th о пределе частного

Пусть определены на Е и такая, что . Пусть . Тогда .

Док-во:

Т.к. , то имеет место представление в , но . Поэтому и в частности . Далее , т.е. .

На основании критерия эквивалентности функций запишем некоторые асимптотические равенства при .

Асимптотические равенства при .

1.

Док-во:

(самост)

2.

Док-во:

(самост)

3.

Док-во:

4.

Док-во:

5.

Док-во:

Из очевидных соотношений , причем , тогда находим (на основании следствия

6.

Док-во:

7.

Док-во:

8.

Док-во:

9.

Док-во:

10.

Док-во:

Используя соотношение 9 имеем

11. , - б.м.

12. , - б.м.

Отметим свойства символа , считая, что , а равенства, содержащие этот символ, читаются слева направо.

Выпишем в таблицу асимптотические равенства.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) , - б.м.

14) , - б.м.

Запишем таблицу эквивалентных б.м., - б.м. при .

Пример №1. Найти

Решение.

Т.к. , , , ;

То ,

Поэтому

, где при .

Пример №2.

Решение.

Т.к.

,

при .

Тогда .

Пример №3.

Замечание. Для раскрытия неопределенности вида можно путем непосредственной «подгонки» свести ко 2-му замечательному пределу . По этой схеме:

.

Выражение, построенное внутри квадратных скобок, имеет вид , где - б.м. при . Нахождение требует раскрытия неопределенности .

=

= .

Отметим, что, если и при , то функция называется главной частью бесконечно малой функции при , где .

Пример. , то и, следовательно, функция является главной частью функции при .

Порядок б.м. при и б.б. при .

Df. Пусть , - б.м. и б.б. при . Если называется б.м. (б.б.) порядка «» относительно при .

Пример.

1) порядка 2 относительно при ;

2) -б.б.3-го порядка относительно при .