Геометрические векторы. Линейные операции с векторами

Лекции 1- 2. Векторная алгебра

Сначала вспомним известные из школьной программы определения и свойства геометрических векторов.

Определение. Геометрическим вектором называется направленный отрезок.

Обозначаем: , А — начало, B — конец вектора.

Геометрические векторы также обозначают одной буквой: и т.п.

Определение. Длина вектора — расстояние между точками A и B.

Обозначаем: и т.п.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых), одинаково направлены и их длины равны.

Обозначаем: .

Определение. Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, равны по длине и противоположно направлены. Обозначаем: .

Определение. Нулевым называется вектор, имеющий нулевую длину. Направление нулевого вектора не определено. Обозначаем: .

Определение. Суммой векторов и называется вектор , определенный на рисунке (правило параллелограмма или правило треугольника). Обозначаем: .

Определение. Произведением вектора на число называется вектор длины , коллинеарный вектору , направление которого при совпадает с направлением вектора , а — противоположно направлению вектора .

Определение. Ортом вектора называется вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением вектора .

Обозначаем: и т.п. Понятно, что .

Определение. Операции сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями с векторами.

Известно (нетрудно доказать), что для линейных операций с векторами справедливо:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. .

Равенства 1-8 справедливы для произвольных векторов и для любых чисел .

Декартовы координаты. Координаты вектора. Линейные операции с векторами в координатной форме

Вспомним, как определяются декартовы координаты точки в пространстве: , , , , , , — .

Единичные векторы координатных осей обозначаем или :

Координаты вектора : , , .

Обозначаем: , и т.п.

Напомним, что координаты вектора — это ортогональные проекции вектора на координатные оси: если , то , , и .

Легко видеть (по свойствам операций сложения векторов и умножения вектора на число), что если , , то и .

Действительно:

, и т.е. ;

аналогично и , т.е. .

Длина вектора: если , то .

Пример. Запись равносильна записи ; .

Пример. Пусть , .

Тогда , .

Определение. Вектор называется радиусом-вектором точки A:

,

Пространство R³ арифметических векторов

Определение. Трехмерным арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность 3 чисел. Обозначается . Числа называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа — ,

Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .

Определение. Множество трехмерных арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов­­R³.

Очевидно, что для любых , , из Rⁿ и любых чисел α, β справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

3. ;

4. ;

5. ;

6. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;

7. , умножение на число ассоциативно;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Мы видим, что операции сложения и умножения геометрических и трехмерных арифметических векторов имеют одинаковые свойства. Тогда можно проделать такое сопоставление:

Выберем в трехмерном геометрическом пространстве декартову систему координат. Тогда для каждого геометрического вектора однозначно определены координаты : , что означает , причем, как показано выше, .

Это означает, что любой геометрический вектор можно рассматривать как трехмерный арифметический вектор, а пространство геометрических векторов можно изучать как пространство трехмерных арифметических векторов.

Деление отрезка в заданном отношении

Определение. Рассмотрим отрезок AB. Говорят, что точка M,принадлежащая отрезку AB делит его в отношении , если .

, . По известному свойству проекций если , то , т.е. и ; аналогично , .

Точка делит отрезок ,

, в отношении .

В частности, точка делит отрезок ,

, пополам ().

Задача. Найти длину медианы треугольника ABC, проведенную из вершины A, если A (1, 0, 2), B (0,1,1), С (3, 0,-2).

Решение. Точка M — середина BC, , .

Тогда .

Ответ. .

Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначаем: , .

Поскольку и , то

Свойства скалярного произведения. Нетрудно показать, что для произвольных векторов , и , и для любого числа справедливо:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , причем тогда и только тогда, когда .

Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Докажем свойство 2: .

Действительно: , но по известному свойству проекций , тогда , что и требовалось доказать.

Из свойств 1- 4 можно вывести весьма важные и полезные следствия:

1. ;

2. , тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны (поскольку направление нулевого вектора не определено, его можно считать ортогональным любому вектору);

3. ; выражение называют скалярным квадратом вектора;

4. если для любого вектора , то вектор — нулевой, т.е. из следует ;

5. если — угол между векторами и , то ;

6. если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то .

Следствия 1, 2, 3 и 5 очевидно следуют из определения скалярного произведения. Докажем свойство 4.

Пусть для любого вектора . Значит, и для , тогда , но , следовательно, .

Докажем свойство 6 — вычисление скалярного произведения в координатах.

Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то , . Вычислим :

, из свойства 2 и следствия 1 следует:

из свойства 3 и следствия 2 следует:

поскольку .

Доказано, что .

Скалярное произведение векторов можно использовать для вычисления углов между векторами: если — угол между векторами и , то .

Равенство нулю скалярного произведения векторов — признак ортогональности векторов: , тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны.

Задача (Типовой расчет!). Найти косинус угла между векторами и , если A (1, 2, 0), B (0, 2, -1) и C (0, 0, 1).

Решение. ; , , — векторы и — ортогональны, угол между ними равен , .

Если не вспомнили признак ортогональности, то можно продолжать вычисления: , , . Ответ. .

Задача.

Найти все внутренние углы, стороны, площадь, медианы, средние линии и высоты треугольника ABC, если A (1, 1, 0), B (0, 2, –1) и C (0, 1, –1).

Решение. Не будем здесь приводить все вычисления. Найдем , медиану BD, высоту BE и среднюю линию FG.

; , , , , , , , ,

, , ,

D — середина AC — , , .

Остальные элементы треугольника вычисляются аналогично.

B (0, 2, –1)

Определители 2-го и 3-го порядка

Определение. Определителем 2-го порядка называется число, вычисленное по квадратной таблице из 4-х чисел следующим образом:

.

Определение. Определителем 3-го порядка называется число, вычисленное по квадратной таблице из 9-ти чисел следующим образом:

.

Пример.

Векторное произведение векторов

Определение. Векторным произведением векторов и (обозначаем его ) называется вектор, который определяется следующим образом:

o , — угол между векторами и ; (определили длину вектора );

o вектор ортогонален вектору и вектору ; (определили положение вектора в пространстве);

o векторы , и образуют правую тройку; (определили направление вектора ).

Правая тройка: из конца вектора поворот от вектора к вектору видится против часовой стрелки. Правую тройку хорошо «моделировать тремя первыми пальцами правой руки.

Важный пример. ,

,

.

Свойства векторного произведения. Нетрудно показать, что для произвольных векторов , и , и для любого числа справедливо:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Доказательства свойств 1, 3 и 4 очевидно следуют из определения. Свойство 2 докажем чуть позже.

Из свойств 1- 4 можно вывести весьма важные и полезные следствия:

1. ;

2. ;

3. , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны (лежат на параллельных прямых; нулевой вектор полагают коллинеарным любому вектору);

4. длина векторного произведения (, — угол между неколлинеарными векторами и ) равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах;

5. если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то .

Следствия 1- 4 очевидно следуют из определения векторного произведения и его свойств. Докажем свойство 5. Доказательство совершенно аналогично доказательству формулы вычисления скалярного произведения в координатах.

Если векторы и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , то , . Вычислим :

а поскольку (см. важный пример):

то имеем:

Для вычисления векторного произведения в координатах используют мнемоническую запись:

Векторное произведение векторов можно использовать для вычисления площадей параллелограммов и треугольников: углов между векторами: , — угол между неколлинеарными векторами и если — угол между векторами и , — площадь параллелограмма, — площадь треугольника.

Равенство нулю векторного произведения векторов — признак коллинеарности векторов: , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Задача (Типовой расчет!). Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если — угол между векторами и , и .

Решение. S — площадь параллелограмма. . Воспользуемся линейностью векторного произведения (св-ва 2, 3, следствия 1, 2): а поскольку (св-ва 1 и 4) , то имеем

Ответ. .

Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанное произведение векторов , и (обозначаем его ) определяется равенством , т.е. равно скалярному произведению векторов и .

Свойства смешанного произведения. Понятно, что свойства смешанного произведения — это свойства скалярного произведения двух векторов, а поскольку первый из сомножителей, , векторное произведение, то получим суперпозицию свойств векторного и скалярного произведений.

Например: .

Рассмотрим только некоторые, наиболее интересные с нашей точки зрения свойства.

Признак компланарности векторов. Векторы, лежащие в одной плоскости (параллельные одной плоскости) называются компланарными векторами.

тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

Действительно, если , то векторы и — ортогональны. Но вектор ортогонален векторам и . Это означает, что у векторов , и есть общий перпендикуляр, а это означает, что векторы , и лежат в одной плоскости (параллельны одной плоскости) — компланарны. Наоборот: если векторы что векторы , и лежат в одной плоскости, то векторное произведение ортогонально этой плоскости, т.е. ортогонально всем векторам плоскости, т.е. ортогонально вектору , т.е. , или, что то же самое, . Что и требовалось доказать.

С помощью смешанного произведения можно вычислять объемы: , V — объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах. Более того, если , то векторы , и образуют правую тройку, если же то векторы , и образуют левую тройку.

Действительно, , где S — площадь основания параллелепипеда, h — высота параллелепипеда, а знак определяется направлением вектора : «+» если вектор образует острый угол с плоскостью векторов , и

«–», если этот угол тупой; , — угол между векторами и . См. рисунок.

Ясно, что смешанное произведение позволяет вычислить объем тетраэдра, построенного на векторах , и как на ребрах: Здесь S — площадь основания тетраэдра (площадь треугольника, она равна половине ), h —

высота тетраэдра (совпадает с высотой параллелепипеда).

См. рисунок.

Связь смешанного произведения с объемом параллелепипеда позволяет доказать нетривиальное равенство: .

Действительно, легко видеть, что оба смешанные произведения равны объему одного и того же параллелепипеда (объему со знаком «–» если тройка левая). Нарисуйте соответствующую картинку и увидите.

Это последнее равенство позволяет доказать линейность векторного произведения. Посмотрите выше. Было обещано доказать

;

Действительно. ,

т.е. , откуда . Что и нужно было доказать.

Вычислим смешанное произведение в координатах. Вспомните формулы для вычисления определителя 3-го порядка, формулы вычисления скалярного и векторного произведения в координатах.

Если векторы , и заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат: , , , то , а

Смешанное произведение векторов можно использовать для вычисления объемов параллелепипедов: , V — объем параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах.

Если смешанное произведение положительно — векторы , и образуют правую тройку; иначе — левую.

Равенство нулю смешанного произведения векторов — признак компланарности векторов: тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны.

Задача (Типовой расчет!). Компланарны ли векторы , , ?

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов: .

Смешанное произведение векторов равно нулю — векторы компланарны.

Ответ. Векторы компланарны.

Задача (Типовой расчет!). Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A ₁(1, -1, 2), A ₂(2, 1, 2), A ₃(1, 1, 4), A ₄(6, -3, 8) и его высоту h, опущенную из вершины A₄.

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов , , и :

.

Тогда объем тетраэдра . Теперь найдем

высоту тетраэдра h, опущенную из вершины A₄ :

, ,

, .

Ответ. Объем тетраэдра — 6; высота, опущенная из вершины A₄, — .

Задача (Типовой расчет!). Найти расстояние от точки M ₀(1, -1, 2) до плоскости, проходящей через точки M ₁(2, 1, 2), M ₂(1, 1, 4), M ₃(6, -3, 8).

Решение. Ясно, что искомое расстояние — это длины высоты тетраэдра с вершинами в точках M ₀, M ₁, M ₂, M ₃, опущенной из вершины M ₀. Следовательно, решение задачи совершенно аналогично решению предыдущей задачи: вычислить объем тетраэдра (смешанное произведение), вычислить площадь основания (половина модуля векторного произведения), вычислить высоту тетраэдра.