Тезис должен быть ясным и точным

Постарайтесь выразить свой тезис по возможности кратко, используя слова с ясным и точным смыслом. Почему математические, да и вообще научные, доказательства так эффективны и плодотворны? Потому, что математические и научные термины имеют однозначный смысл и доказываемые утверждения ясны. Почему столь шатки и неубедительны “доказательства” в сфере политики или в повседневной жизни? Потому что смысл таких слов, как “народ”, “собственность”, “власть”, “интеллигенция”, “демократия” и т.п., чрезвычайно расплывчат и формулируемые с их помощью утверждения неопределенны и двусмысленны.

Чтобы успешно провести доказательство и исключить опровержения, следует исключить многозначность понимания терминов, при формулировке тезиса сразу же оговорить смысл ключевых слов.

3) Тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства.

Кажется, это вполне естественно: вы выдвинули некий тезис и доказываете его. Однако иногда случается так, что в процессе доказательства выдвинутый тезис незаметно - для слушателей, а то и для самого доказывающего — заменяется другим положением. Эта ошибка так и называется — “подмена тезиса”. Ее порой весьма трудно обнаружить, особенно когда тезис подменяется похожим и близким положением. Сознательная подмена тезиса часто лежит в основе демагогии и софистики.

Скажем, некто доказывает другому человеку, что нужно бросить курить. И в качестве аргументов приводит данные о том, что капля никотина убивает лошадь, что многие курильщики умирают от рака легких и т.п. Кажется, он прав. Но ведь он доказывает совсем не тот тезис! Он доказывает, что курение вредно для здоровья, а вовсе не то, что именно конкретный человек должен бросить курить. Так бывает часто в наших разговорах.

Наиболее типичными ошибками, связанными с нарушением правил тезиса, являются ошибки под названием "подмена тезиса", "слишком широкое доказательство", "слишком узкое доказательство", "довод к публике", "довод к человеку" и т. п.

Трудно не попасться на такую уловку в следующем примере-задачке: "В автобусе едут 10 человек. На первой остановке входят 5 и выходят 2 человека. На второй остановке выходят 3 и не входит ни одного. На следующей — входят 7, а выходят 4 человека; на следующей — вошли 3 и не вышло ни одного, наконец, на последней остановке вышли 10 и вошли 4 человека. Сколько было... остановок?" Здесь только в конце задания становится ясно, что тезис изначально четко не выделен, умышленно не сформулирован, в задании сознательно акцентируются детали, имеющие косвенное отношение к тезису, т.е. тезис скрыто подменен, что является нарушением логики. Однако, именно в таком резком переходе и вся соль подобных задачек. Они - хороший психологический тренинг.

ТРЕБОВАНИЯ К АРГУМЕНТАМ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА АРГУМЕНТЫ

Сначала посмотрим, какого типа утверждения вообще используются для обоснования истинности других утверждений.

Во-первых, это констатации фактов, истинность которых удостоверяется опытом, практикой, научным экспериментом, например: “Железо тонет в воде”, “Река Конго дважды пересекает экватор”, “Официальный курс доллара в такой-то момент времени был таким-то”, “Цезарь был убит в 44 г. до н.э.”.

Во-вторых, определения понятий: “Окружность есть кривая замкнутая линия, равно удаленная от некоторой точки”, “Геном называют простейшую единицу наследственности”, “Слово "месяц" в русском языке имеет то же значение, что и слово "Луна"” и т.п.

В-третьих, аксиомы или постулаты той области. знания, в рамках которой проводится доказательство. Например, если вы доказываете теорему из евклидовой геометрии, вы можете в качестве аргументов использовать известные 5 постулатов Евклида; если речь идет о механике, вы можете опираться на известные законы динамики Ньютона; в биологии - на законы Менделя.

В-четвертых, ранее доказанные положения: если в ходе ваших рассуждений вы доказали какой-то тезис, то в дальнейшем его можно использовать как аргумент для доказательства других положений.

Требования:

1) Аргументы должны быть истинными утверждениями, причем их истинность не должна вызывать сомнений. Нарушение этого требования, связанное с использованием ложного аргумента, называется “основным заблуждением”. Такая ошибка сразу же подрывает все здание доказательства. Чаще встречается ошибка, связанная с использованием, может быть, и истинного, но сомнительного аргумента: он сам еще нуждается в доказательстве и не может служить основой для доказательства других утверждений. Такая ошибка носит название “предвосхищение основания”: мы слишком поспешно используем сомнительный аргумент, его еще нужно доказать.

2) Истинность аргументов должна устанавливаться автономно, т.е. независимо от доказываемого тезиса.

Если при обосновании какого-то аргумента используется сам тезис, то мы имеем дело с ошибкой, известной как “круг в обосновании” (“порочный круг”). Ясно, что доказательство в этом случае не выполняет своей функции, ибо при обосновании истинности тезиса косвенно используется сам тезис.

3) Совокупность аргументов должна быть непротиворечива. Если один из ваших аргументов противоречит другому, то по крайней мере один из них ложен, и вы совершаете ошибку основного заблуждения.

4) Совокупность аргументов должна быть достаточной для вывода тезиса. Один аргумент почти никогда не дает обоснования тезиса, его доказательная сила слишком мала. Но несколько взаимосвязанных аргументов способны создать прочную логическую основу для вывода.

Ошибок, связанных с нарушением правил аргументов, много, назовем лишь некоторые, наиболее типичные и распространенные. Это — "ложный аргумент", "ложное основание", "основное заблуждение", "предвосхищение основания", "круг в доказательстве", "не следует, не вытекает", "от сказанного в относительном смысле, к сказанному в абсолютном смысле" и наоборот, и др

ДЕМОНСТРАЦИЯ, ИЛИ ФОРМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Самое трудное в доказательстве - показать, что между аргументами и тезисом существует определенная логическая связь, что тезис действительно вытекает из приведенных аргументов. В повседневной жизни часто бывает так, что, высказав некоторые аргументы, человек присоединяет к ним свой тезис с помощью слов “таким образом”, “поэтому”, “итак”, “следовательно” и т.п. Но сами по себе эти слова не создают логической связи между аргументами и тезисом! Если в действительности такой связи нет, то ее и не будет, сколько бы раз вы ни повторяли “следовательно” и “таким образом”.

Логические связи выражаются в умозаключениях различных типов. Доказательство будет вполне безупречным тогда, когда вам удастся вашим рассуждениям придать вид определенного умозаключения. В качестве примера демонстрации доказательства полезно вспомнить правила вывода, о которых мы уже говорили.

Правила вывода:

Конечно, далеко не всегда связь аргументов с тезисом может быть представлена в виде определенного умозаключения или цепи умозаключений. Часто она усматривается интуитивно. Важно то, чтобы эта связь действительно существовала и мы, опираясь на свою языковую интуицию, могли согласиться с тем, что она есть. Ошибка, связанная с отсутствием логической связи между аргументами и тезисом или с нарушением правил умозаключений, носит общее название “не следует”: тезис логически не следует из аргументов.

ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

По способу доказывания, по типу связи аргументов и тезиса доказательства подразделяются на прямые и косвенные. Прямые доказательства — те, в которых тезис обосновывается аргументами непосредственно, прямо, т.е. используемые аргументы выполняют, например, роль посылок простого категорического силлогизма, где вывод из них выступает тезисом нашего доказательства.

Косвенное доказательство имеет более сложную структуру. К указанным выше элементам доказательства мы добавляем еще один элемент - антитезис, то есть утверждение, противоречащее тезису, а затем показываем, что он ложен. Это дает нам право утверждать, что тезис истинен. Иногда такое доказательство называют “доказательством от противного”.

1)делаем предположение, что доказываемый тезис ложен

2)строим его отрицание тезиса и находим следствия из него

3)приходим к противоречию с условием, или с ранее доказанным утверждением, или с аксиомой

4) делаем заключение

две прямые, параллельные третьей параллельны между собой.

Другой вид косвенного доказательства — разделительное доказательство. Оно обосновывает тезис путем исключения всех членов разделительного суждения, кроме тезиса.

Вы отдали тетрадь с лекциями кому-то из трех человек. Нужно установить кому?

Устанавливаем в каждом отдельном случае, что С ложно, что в действительности имеет место не-С. То же самое и относительно Д и т.д. И когда таким образом обоснуем ложность всех членов разделительного суждения, т.е. исключим члены деления, кроме нашего тезиса, только тогда можно с уверенностью считать, что тезис В косвенно обоснован.

Мы видим, что косвенное доказательство имеет более сложную структуру по сравнению с прямым, оно требует обращения к дополнительному знанию, поэтому при косвенном доказательстве возрастает риск ошибки. Оно менее надежно и убедительно, чем прямое доказательство. Тем не менее во многих случаях без него трудно обойтись.

ОПРОВЕРЖЕНИЕ

Опровержением называют установление ложности или необоснованности выдвинутого тезиса.

Цель опровержения — разрушить выдвинутое доказательство. Доказательство может существовать без опровержения: вы доказали некоторый тезис, и все согласились с вашим доказательством. Опровержение же всегда носит вторичный характер: сначала нужно что-то утверждать, что-то доказать - только тогда появляется материал для опровержения. Как это и бывает в повседневной жизни: нельзя разрушить то, чего еще нет; сначала нужно что-то построить, а уж потом - разрушить. Поскольку доказательство состоит из трех элементов, критика может быть направлена на каждый из них.