Геометрические приложения определенного интеграла

РЕФЕРАТ

Тема: Геометрические и физические приложения определенного интеграла

Выполнил:
студент 2 курса
группы ИФ-14 ФЕНМит
Бояркин Сергей

Проверил:
Беломестнова Вера Ревокатовна

Чита 2016

Геометрические приложения определенного интеграла

· Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой – либо геометрической или физической величины (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную пластину и т.д.), связанной с отрезком изменения независимой переменной x. Предполагается, что при разбиении отрезка точкой на части [a,c] и [c,b] значение величины , соответствующее всему отрезку равно сумме ее значений, соответствующих [a,c] и [c b]

Для нахождения этой величины можно руководствоваться одной из двух схем: I схема (или метод интегральных сумм) и II схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного интеграла.

1. Точками разбить отрезок на частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина разобьется на «элементарных слагаемых»

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычисленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

.

При нахождении приближенного значения допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины в виде интегральной суммы:

3. Искомая величина равна пределу интегральной суммы, т. е.

Указанный «метод сумм» основан на представлении интеграла как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла.

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схему I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке а,b выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [a,x На этом отрезке величина становится функцией , т. е. считаем, что часть искомой величины есть неизвестная функция , где - один из параметров величины ;

2) находим главную часть приращения при изменении x на малую величину , т. е. находим дифференциал d функции , где определяемая из условия задачи, функция переменной x (здесь также возможны различные упрощения);

3) считая, что при находим искомую величину путем интегрирования в пределах от до :

· Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой, , где .

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Покажем, что если функция и ее производная непрерывна на отрезке , то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками разобьем отрезок на частей (рис. 2). Пусть этим точкам соответствуют точки на кривой AB. Проведем хорды , длины которых обозначим соответственно через

Получим ломанную длина которой равна

2. Длину хорды (или звена ломаной) можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δ и Δ :

где , .

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

поэтому

а длина всей ломанной равна

3. Длина кривой AB, по определению, равна

Заметим, что при также и и, следовательно, . Функция непрерывна на отрезке так как, по условию, непрерывна функция Следовательно, существует предел интегральной суммы (1), когда :

Таким образом,

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

,

Где и – непрерывные функции с непрерывными производными и , , то длина кривой АВ находится по формуле

Формула (3) может быть получена из формулы (2) подстановкой

,

· Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела, причем известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси (рис. 3). Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью; считаем известной и непрерывно изменяющейся при изменении . Через обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости. Будем считать, что на отрезке величина есть функция от x, т. е.

2. Находим дифференциал функции Он представляет собой «элементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках , который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием и высотой . Поэтому дифференциал объема .

3. Находим искомую величину путем интегрирования в пределах от

.

Полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Объем тела вращения.

Пусть вокруг оси вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией , отрезком и прямыми и (рис. 4). Полученная от вращения фигура называется телом вращения.

Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси , проведенной через произвольную точку оси , есть круг с радиусом . Следовательно,

Применяя формулу (4) объема тела по площади параллельных сечений, получаем

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми , то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси , по аналогии с формулой (5), равен

· Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции , где , а функция и ее производная непрерывны на этом отрезке.

Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси .

Применим схему II (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку проведем плоскость, перпендикулярную оси . Плоскость пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом (рис. 5). Величина поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от , т.е.

и

2. Дадим аргументу приращение . Через точку также проведем плоскость, перпендикулярную оси . Функция получит приращение . Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна , а радиусы оснований равны и . Площадь его боковой поверхности равна

Отбрасывая произведение как бесконечно малую высшего порядка, чем получаем , или, так как

, то

3. Интегрируя полученное равенство в пределах получаем

.

Если кривая AB задана параметрическими уравнениями то формула для площади поверхности вращения принимает вид

· Вычисление площади плоской фигуры

Пусть функция непрерывна на сегменте Если на [a,b], то площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, равна интегралу

Если же на то — на Поэтому площадь S соответствующей криволинейной трапеции выразится формулой

Если, наконец, кривая пересекает ось Ох, то сегмент надо разбить на части, в пределах которых не меняет знака, и к каждой такой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

· Вычисление площади цилиндрической поверхности

Введем дугу в качестве параметра; тогда не только уравнения и кривой AB заменятся уравнениями и но и уравнение перейдет в уравнение . Впишем в кривую АВ ломаную и, в соответствии с этим, в кривую CD – ломаную , из трапеций составим призматическую поверхность, вписанную в рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Под площадью цилиндрической поверхности будем понимать предел P площади Q призматической поверхности при стремлении к нулю наибольшей из частичных дуг. Полагая, что , имеем

Предел суммы будет вычисляться по формуле

в которой легко узнать интегральную сумму. Окончательно

Возвращаясь к произвольному параметру t, легко получить и общую формулу

Наконец, для случая явного задания кривой АВ: y=f(x) эта формула перепишется так:

определенный интеграл геометрический физический