Описание 3-х массового 6 page

q11 0 0 0 0 0

+ 0 q22 0 = 0 0 0

0 0 q33 0 0 0

После умножения всех матриц получим получим следующую систему уравнений

- (р13b31)2 + q11 = 0

p11 + p12Q22 + p13Q32 - (p13b31)(p23b31) = 0

p12Q23 + p13Q33 - (p13b31)(p23b31) = 0

p12Q23 + p13Q33 - (p13b31)(p33b31) = 0

p22Q23 + p13Q33 - p13 + Q22p23 + Q23p23 + Q23p33 –

(p23b31)(p32b31) = 0

2p23Q23 + 2p23Q33 – (p33b31)2 + Q33 = 0

C1 = - p13b31

C2 = - p23b31

C3 = - p33b31

Решая систему, находим Р, затем все С и проверяем систему на качество управления.

§. Методы описания систем управления.

1. Представление системы в форме дифференциальных уравнений

А(р)хвых = В(р)хвых

2. В форме пространства состояний.

.

х = Ах + BV Y = cx

3. В форме ПФ и постоянных W(s), W(jw).

Анализ устойчивости q (1-го случая наиболее просто решается с помощью критерия Гаусса; качество управления проверяется с помощью частотной характеристики или ПФ).

B(s) B(jw) a+jb (a+jb)(c-jd)

W(s) = ¾¾¾ Þ W(jw) = ¾¾¾ = ¾¾ = ¾¾¾¾¾ =

A(s) A(jw) c+jd c2+d2

ar + bd br - ad

= ¾¾¾¾ + j ¾¾¾ = A(w) +j B(w)

c2 + d2 c2 + d2

____________

A(w)=ÖA2(w)+B2(w) - AЧХ

B(w)

j(w)=arctg ¾¾ - ФЧХ

A(w)

да нет

В(w) = 0

j = arctg B(w)/A(w) + p

j = arctg B(w)/A(w)

Анализ систем, описанных в области

пространстве состояния.

.

х = Аx + Bxbx – замкнутая система.

А – матрица, определяющая устойчивость системы.

. Аºа

х = Ах+Bcx=(A+Bc)x

A

В настоящее время анализ устойчивости по матрице А проводится одним из способов:

1) С помощью алгоритма Данилевского.

2) Или Лаурье – Фадеева.

Матрицы А в полиномную форму и в дальнейшем применяется критерий Гаусса.

Далее алгоритмы оформляются в качестве стандартных программ.

Но им присущи следующие недостатки:

В Данилевском: необходимо предусмотреть случай выраженя частных определителей системы, благодаря чему программа получается сложной и требует больших вычислений.

В Лаурье – Фадеева: этот алгоритм прост, но он имеет быструю накапливающиюся ошибку, что в силу ограничения разрядной сетки ЭВМ, делает его пригодным для систем не выше 6-9 порядка.

В связи со сказанным был предложен метод анализа устойчивости без построения характерного полинома системы, который в общем случае устанавливает достаточное условие устойчивости системы.

Пример:

А(р)=0

Необходимое условие устойчивости: все коэффициенты этого полинома должны быть положительные.

Достаточное условие устойчивости: критерий Гурвица, критерий Гаусса, критерий Михайлова.

Достоточное необходимое условие: если коэффициент положителен и удовлетворяет условию, то система устойчива.

Если не удовлетворяется, то не устойчива.

Достаточный критерий устойчивости.

.

Дано уравнение: х = Аy

По этому уравнению надо судить, устойчива система или нет.

B=E+r(A-E)-1

Строится матрица B и смотрится предел:

lim Bk Þ 0

k®¥

Если lim стремится к нулевой матрице, то система устойчива. Если lim не стремится к нулевой матрице, то система неизвестно устойчива или нет. Если любой элемент матрицы |bij|k<1/n; то предел стремится к нулю.

Пример:

х1=0,9х1+3,1х2+0,2х3 0,9 3,1 0,2

х2=-0,4х1+2,5х2+3,2х3; А = -0,4 -2,5 3,2

х3=-1,1х1-1,5х2-3,1х3 -1,1 1,5 -3,1

n=3

-0,212 -0,828 -0,584

[B]2= -0,114 -0,490 -0,390

-0,218 -0,036 0,498

0,0524 -0,1031 0,17

[B]4= 0,0515 -0,0642 -0,226

-0,0297 0,1186 -0,0963

система устойчива т. к. ½bij½4<1/3

Недостаток:

1. Этот метод носит только достаточный характер.

2. Операция обращения матрицы достаточно сложна.

Часто можно использовать следующие формулы:

[E-A]-1=E+A+A2+...+Am, т. е. матрицу представить в форме ряда.

Точность вычислений обратной матрицы будет зависеть от количества членов ряда, которые определяются быстротой сходимости ряда, т. е. данная операция может быть осуществлена, когда ряд быстро сходится.

Если любая из норм матрицы [B] ½½B½½II£1,

то lim [B]>0, т. е. система устойчива.

Если любая из норм матрицы [B] ½½B½½II£1

то lim[B]>0, т. е. система устойчива

n

½½В½½II=maxS½bij½

i=1

1. Если все нормы больше 1, то ничего об устойчивости системы мы сказать не можем.

2. Если следующая матрица [B] SрВ³n, то система неустойчива.

Следующие матрицы – это S валентно диагностических элементов

если SpB<n, то ничего сказать нельзя, следовательно:

½½В½½>1 Þ SpB<n

½½B½½2>1ÞSpB2<n

½½B½½m>SpBm<n

Вывод: рассмотренные матричные методы анализа устойчивости позволяют в несколько раз снизить время расчёта по сравнению с алгоритмом Данилевского.

§. Алгоритм построения обратной матрицы.

АА-1=Е

1. Каждый элемент нахождения матрицы А заменяется его алгебрарическим дополнением.

2. Полученная матрица транспонируется.

3. Транспонированная матрица делится на определитель исходной матрицы.

а11 а12 а22 -а21 а22 -а12

Þ Þ = А-1 (обратная матрица)

а21 а22 -а12 а11 -а21 а11

_________

а11а22-а12а21

Это всё делается на компьютере с помощью стандартных подпрограмм.

§. Построение частотных характеристик.

.

Дано уравнение: х = Ах + ВV

Преобразование Лапласса: Дана функция h(t)

f

h(t)Þ ò f(t) est dt = f(s)

противотов получ

h(t) = L [ f(t) ]

f(s) – изображение по Лаплассу функции f(t)

.

f(t) [-f(t)] Þ sf(s)-f(0)

s-конечное число.

Частотные характеристики строятся при нулевых начальных условиях.

По Лаплассу на уравнение:

S(s)=Ax(s)+BV(s) V=Cтx

(se-A)x(s)=BV(s)

x(s) – вектор выходной фазовой координаты, взятой по изображению Лапласа.

X(s)=(sE-A)-1BV(s)

X(s)

¾¾ = (sE-A)-1 * BV(s)

V(s)

Чтобы построить частотную характеристику, надо S заменить на jw.

В результате получим вектор-столбец

______

А1+jb1 АЧХ: Öаi2+bi2=Ai

A2+jb2 ФЧХ: arctg bi/ai=ji

..

..

an+jbn

A(w) 2

1

w

AЧХ показывает качество управления: показатель колебательности не должен превышать 1,2,, т. е. M<1,2.

Показатель колебательности является необходимым условием устойчивости, но не достаточен (систему надо проверять на устойчивость).

§. Построение переходных процессов на ЭВМ.

Построение переходных фаз является положительным этапом при проектировании системы переходного процесса.

ПФ – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Переходный процесс – реакция системы на входную функцию.

Переходный процесс более обратимое понятие, чем ПФ.

В натоящее время разработано достаточно эффективные методы, численного интегрирования. Наиболее распространённо получаем методы Рунге – Кутта 4 – го порядка.

Х=f1(x1...xn1(t))

Х=f2(x1...xn1t)

.

.

Хn-1=fn(x1...xn1t)

Следует учитывать, что для методов РК характерны следующие ошибки:

1) Ошибка, связанная с шагом интегрирования x£(Bt)4

Dt-шаг интегрированя.

2) Ошибка, связанная с положением (полиномные ошибки).

Для характеристики практически во всех моментов методов расчёта.

Сведение дифференциального уравнение

к форме Какм.

А0рn+a1pn-1+...+an-1pa4)x вых=b0pm+...+bm-1p+bm)bх.

-дано дифференциальное уравнение.

Любое линейное дифференциальное уравнение n-го порядка может быть уравнением 1-го порядка.

Хвых=х1 х2=х3

Х1=х2 хn-1=xn+1

Q0xn-a1xn-1+...+an-1x3+x1=b0xвх+...bm-1xвх+bmxвх

Хт-1=[-a1xn-1—an-1x2-x1+b0xвх]/a0

Xвх=х1

... Система дифференциальных уравнениё 1-го порядка

хn-1=

хвх-единственная ступенчатая фунция(часто)

Её производная в начальный момент времени самое большое число, т. е. если ввести в нашу эту систему, то получим преломление разрядно сетки ЭВМ.

Такую систему представляют в форме.

хвх

1/a0p+ хвых

+...+am b0p+bm

Y

И вводят дополнительно Y.

Cистема алгебраических уравнений составляется для промежутка времени Y.

Поэтому: хвых=bmY1+bm1Y2+...+b0Ym

Т. О. мы избавляемся от операции дифференцирования единичного ступенчатого воздействия.

Построение переходных процессов на основе теоремы о

совокупности частных решений.

Решение задач анализа методом Р-К требует достаточно большого объёма вычислений.

Преимуществом Р-К является возможность построения переходных процессов для нелинейных систем.

Если система линейная или задача имеет не нулевое начальное условие, то вычисления можно резко сократить.

Дано: дифференциальное уравнение с ненулевым начальным условием.

А(р)хвых=В(р)хвх(t) (*)

.

X(р)=х0; х(0)=х1; 0...хn-1(0)=xn-1, 0

Изображение по Лапласу (*)

А(s)xвых(s)=B(s)xвх(s)+x0(Q0sn-1+Q1sn-1+...+Qn-1)+x1, 0 (Q0sn-

1+Q1sn-3+...+Qn-2)+...+xn-2,0(a0s+a1)+a0xn-1,0=B(s)xвх(s)+

n-1

SAi(s)

i=1

Здесь мы учли все начальные условия. Обратимся к уравнению во временной области при нулевых начальных условиях.

n-1

A(p)хвых=В(р)хвх+SА(р)р1(t) (++)

i=1

Изображение по Лапласу функции 1(t): L[1(t)]=1/s

Единичная функция

К 1(t)

Если сравнивать (*) и (++), то убедимся, что изображения по Лапласу выходной величины, будет совпадать, следовательно в силу единственности преобразования Лапласа, данные выходные функции будут совпадать.

Если хвх и 1(t) b(++) представляются в форме тригонометрического ряда, то выходная функция может быть найдена как совокупность частных решений.

Вывод: мы заменили рассмотрение дифференциальных уравнений при ненулевых начальных условиях на рассмотрение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях.

Пример: Дано дифференциальное уравнение в форме:

(а0р2+а1р+а2)хвых=bхвых

.

Даны ненулевые начальные условия: х0=х(0), х(0)=х1, 0

Надо построить переходной процесс

L[xвых(t)]=x(s)

.

L[xвых(t)]=sx(s)-x(0)

..

L[xвых(t)]=s2x(s)-sx1, 0-x(0)

Тогда изображение по Лапласу нашего уравнения:

(а0s2+a1p+a2)xвых(t)=bxbx(t)+x0(Q0p+Q1)*p1(t)+x10a0p 1(t) (*)

Уравнение (*) имеет изображение по Лапласу (**) при нулевых начальных условиях.

Следовательно к уравнению (*) может быть применена теорема о совокупности частных решений.

хвых=А0+SАк cos kwt+S Bk sin kwt

хвх(t)=P0+SPk cos kwt + STk sin kwt

1(t)=Д0+S Дк sin kwt

Если хвых, хвх, 1(t) подставить в (*), то для нахождения Ак и Вк необходимо будет решить систему алгебраических уравнений.

-а0к2w2Ak cos-a0k2w2Bk sin-a1kwAk sin+a1kwBk cos+a2Ak cos+a2Bk sin=Pkb cos+bTk sin+x0a0kwДк cos+a1x0Дк sin+

x1pa0kwДк cos kwt

-Q0k2wkAk+Q1kwBk+a2Ak=Pkb+x0a0kwДк+х1а0kwДк

-Q0k2w2Bk-a1kwAk+a2Bk=bTk+a1x0Дк

Ак(-Q0k2w2+Q2)+BkQ1kw=Pkb+Дк(х0а0кw+х10а0кw)

Ak(-Q1kw)+Bk(-Q0k2w2+Q2)=bTk+Q1x0Дк

Решая полученную систему алгебраических уравнений, мы находим Ак и Вк.

А0=В/a2*P0

Задано уравнение

А(р)хвых+В(р)хвх (1)

с ненулевыми начальными условиями

.

хвых(0)=х0, х(0)=х1, 0... х(0)=хn-1, 0

Необходимо выбрать коэффициенты полиномов А(р) и В(р) из условия воспроизведения

Уравнение (1) запишем

А(р)хвых=В(р)хвх+х0(Q0рn-1+...+Qn-1)p 1(t)+...+xn-1, 0 Q0p 1(t) (2)

- ненулевыми начальными условиями.

Если в уравнение (2) подставить хвых, хвх и 1(t), в форме тригонометрических гармоник, и сравнить все полиномы при одинаковых формулах времени, мы получим систему алгебраических уравнений.

Ах=В, где [x]=[a1, a2,...,an]

Пример:

(р3+Q1p2+Q2p+Q3)хвых=0 (1)

.

x(0)=x0; х(0)=0... хn-1(0)=0

Условие: хвых=А0+SАк cos+SBk sin

x

x0

2

t

ty

1– управление.

2 - управление собственным движением системы (1 случай).

(Есть многомерное отклонение, необходимо вернуться на заданную траекторию по определённому закону).

(1) Представляется в форме: (т.к. у (1) и (2) – одинаковое изображение по Лапласу).

(р3+Q1p2+Q2p+Q3)x=x0(p2+Q1p+Q2)p 1(t) (2)

k3w3Ak sin-k3w3Bk cos-Q1k2w2Ak cos-Q1k2w2Bk sin-Q2Ak kw

sin+Q2bk kw cos+Q3Ak cos+Q3bk sin=-x0k2w2Дк sin+x0Q1kw

cos+Q3Ak cos+Q3Bk sin=-x0k2w2Дк sin+x0Q1kwДк cos+x0a2Дк sin

k3w3Ak-Q1k2w2Bk-Q2Ak kw+Q3Bk+x0k2w2Дк-х0а2Дк=0

к3w3Bk-a1k2w2Ak+a2Bkkw+a3Ak-x0a1kwДк=0

a1(k2w2Bk)+a2(-Akkw-x0Дк)+а3Вк=-х0к2w2Дк-k3w3Ak

a1(-k2w2Ak-x0kwДк)+а2(Вк kw)+a3Ak=k3w3Bk

a) -w2B1; -А1w-x0Д1; В1 Q1

-w2A1-x0w; B1w; A1 Q2 = w3B1

-32w2B3;-A33w-x0Д3; В3 Q3

б) -w2A1-x0Д1;В1w; A1 Q1

-w2B1; -A1w-x0Д1; В1 Q2 = w3B1

-32w2A3-x0Д3;В33w; A3 Q3

Как известно один из вариантов (при нечётной степени исходного уравнения) в результате синтеза приводит к неустойчивости системы.

§. Управление в пространстве состояний при ненулевых начальных условиях.

.

Дана система: х=Ах+BV

Y=Qx; х(0)=х0

Мы утверждаем, что движение объекта:

Х=Ах+BV+x0p 1(t) – при нулевых начальных условиях.

Синтезировать управление:

V=Cx – свободное движение системы.

V=Cx+òn(x3-Y)dt+m[x3-Y] – вынужденное движение.

К0..

xз кп х

Дв Y

.

Х кw

вынужденное движение

свободное движение

Y=Qx

V=SPk cos + STk sin

Xi=SAik cos+SBik sin

l

Pk=SCiAik

i=1

l (**)

Tk=SCiBik

i=1

Найти Сi-?

Pk, Tk, Bik находится по процедуре предыдущей лекции с учётом члена х0 1(t)

Далее проверяем систему не устойчивость которой говорит о возможности реализации закона управления

Надо найти вектор:

X1k

B1k

A2k

...

Pk

Tk

Пример: Дано:

.

x1=Q11X1+Q12X2+Q13X3+b1V

.

x2=Q21X1+Q22X2+Q23X3+b2V (1)

.

x3=Q31X1+Q32X2+Q33X3+b3V

Система (1) преобразуется в систему (2) с нулевыми начальными условиями.

.

х1=а11х1+а12х2+а13х3+b1V+х10р 1(t)

.

x2=a21x1+a22x2+a23x3+b2V+x20p 1(t)

.

x3=a31x1+a32x2+a33x3+b3V+x30p 1(t)

p 1(t)=¶(t) – единичная импульсная функция.

Выражаем из Y=Qx функциональную координату:

l

x1=[Y=SCixi]/q1

i=2

l

xj=[V=SCixi]/qj

i=1

i¹j

l-количество фаз координат учавствующих в законе управления.

Имеем:

.

х1=Q11x1+Q12x2+Q13x3+x10p 1(t)

.

x2=Q21x1+Q22x2+Q23x3+x20p 1(t)

.

x3=Q31x1+Q32x2+Q33x3+x30p 1(t)

Y=q1x1+q2x2+q3x3=Qтx

Надо найти закон управления

Y=Ak cos+Bk sin+A0

1(t)=Д0+SДк sin

n

x1=(Y-S qixi)/q1

i=1

i=r

..

-1/qr A1Y+1/q1 C1 Y=x0d(t)=(A2-A1C3т)х1+(С1С3т-С2)х1+ВV (*)

x10

x0= x20

x30