Основы теории графов

3.1 Происхождение понятия «граф». Определение графа

Многие задачи сводятся к рассмотрению совокупности объектов, существенные свойства которых описываются связями между ними. Например, глядя на карту автомобильных дорог, можно интересоваться только тем, имеется ли связь между некоторыми населенными пунктами, отвлекаясь от конфигурации и качества дорог, расстояний и других подробностей. При изучении электрических цепей на первый план может выступать характер соединений различных ее компонентов - резисторов, конденсаторов, источников и т. п. Органические молекулы образуют структуры, характерными свойствами которых являются связи между атомами. Интерес могут представлять различные связи и отношения между людьми, событиями, состояниями и вообще между любыми объектами.

Рис. 3. К задаче о кенигсбергских мостах: а — план города; б — граф.

В подобных случаях удобно рассматриваемые объекты изображать точками, называемыми вершинами, а связи между ними - линиями (произвольной конфигурации), называемыми ребрами. Множество вершин V, связи между которыми определены множеством ребер Е, называют графом и обозначают 0 = (V, Е). Первая работа по графам была опубликована двадцатилетним Леонардом Эйлером в 1736 г., когда он работал в Российской Академии наук. Она содержала решение задачи о кенигсбергских мостах

(рис. 3, а): можно ли совершить прогулку таким образом, чтобы выйдя из любого места города, вернуться в него, пройдя в точности один раз по каждому мосту? Ясно, что по условию задачи не имеет значения, как проходит путь по частям суши а, b, с, d, на которых расположен г. Кенигсберг (ныне Калининград), поэтому их можно представить вершинами. А так как связи между этими частями осуществляются только через семь мостов, то каждый из них изображается ребром, соединяющим соответствующие вершины. В результате получаем граф, изображенный на рис. 3, б. Эйлер дал отрицательный ответ на поставленный вопрос. Более того, он доказал, что подобный маршрут имеется только для такого графа, каждая из вершин которого связана с четным числом ребер.

С тех пор поток задач с применением графов нарастал подобно снежной лавине. Наряду с многочисленными головоломками и игграми на графах, рассматривались важные практические проблемы, многие из которых требовали тонких математических методов. Уже в середине прошлого века Кирхгоф применил графы для анализа электрических цепей, а Кэли исследовал важный класс графов для выявления и перечисления изомеров насыщенных углеводородов.

Однако теория графов как математическая дисциплина сформировалась только к середине тридцатых годов нашего столетия благодаря работам многих исследователей, наибольшая заслуга среди которых принадлежит Д. Кенигу. Значительный вклад в теорию графов внесли советские ученые Л. С. Понтрягин, А. А. Зыкоз, В. Г. Визинг и др.

Теория графов располагает мощным аппаратом решения прикладных задач из самых различных областей науки и техники. Сюда относятся, например, анализ и синтез цепей и систем, проектирование каналов связи и исследование процессов передачи информации, построение контактных схем и исследование конечных автоматов, сетевое планирование и управление, исследование операций, выбор оптимальных маршрутов и потоков в сетях, моделирование жизнедеятельности и нервной системы живых организмов, исследование случайных процессов и многие другие задачи. Теория графов тесно связана с такими разделами математики, как теория множеств, теория матриц, математическая логика и теория вероятностей. Во всех этих разделах графы применяют для представления различных математических объектов, и в то же время сама теория графов широко использует аппарат родственных разделов математики.

Ориентированные графы. Часто связи между объектами характеризуются вполне определенной ориентацией. Например, на некоторых улицах допускается только одностороннее автомобильное движение, в соединительных проводах электрической цепи задаются положительные направления токов, отношения между людьми могут определяться подчиненностью или старшинством. Ориентированные связи характеризуют переход системы из одного состояния в другое, результаты встреч между командами в спортивных состязаниях, различные отношения между числами (неравенство, делимость).

Для указания направления связи между вершинами графа соответствующее ребро отмечается стрелкой. Ориентированное таким образом ребро называют дугой, а граф с ориентированными ребрами - ориентированным графом или короче орграфом (рис. 4, а).

Если пара вершин соединяется двумя или большим числом дуг, то такие дуги называют параллельными. При этом две дуги, одинаково направленные по отношению к данной вершине, называют строго параллельными, а различно направленные — нестрого параллельными. Ясно, что нестрого параллельные дуги, отображающие ориентацию связи в обоих направлениях, по существу равноценны неориентированной связи и могут быть заменены ребром. Произведя такую замену в орграфе, придем к смешанному графу, который содержит ребра н дуги (рис. 4, б). Обратно, любой неориентированный или смешанный граф можно преобразовать в ориентированный заменой каждого ребра парой нестрого параллельных дуг.

Рис. 4. Ориентированный (а) и смешанный(б) графы.

Изменив направления всех дуг орграфа на противоположные, получаем орграф, обратный исходному. Если направления дуг орграфа не учитываются и каждая дуга рассматривается как неориентированное ребро, то он называется соотнесенным (неориентированным) графом.

Взвешенные графы. Дальнейшее обобщение отображения связей между объектами с помощью графов состоит в приписывании ребрам и дугам некоторых количественных значений, качественных признаков или характерных свойств, называемых весами.

В простейшем случае это может быть порядковая нумерация ребер и дуг, указывающая на очередность при их рассмотрении (приоритет или иерархия). Вес ребра или дуги может означать длину (пути сообщения), пропускную способность (линии связи), напряжение или ток (электрические цепи), количество набранных очков (турниры), валентность связей (химические формулы), количество рядов движения (автомобильные дороги), цвет проводника (монтажная схема электронного устройства), характер отношений между людьми (сын, брат, отец, подчиненный, учитель) и т. п.

Вес можно приписывать не только ребрам и дугам, но и вершинам. Например, вершины, соответствующие населенным пунктам на карте автомобильных дорог, могут характеризоваться количеством мест в кемпингах, пропускной способностью станций техобслуживания. Вообще, вес вершины означает любую характеристику соответствующего ей объекта (атомный вес элемента в структурной формуле, цвет изображаемого вершиной предмета, возраст человека и т. п.).

Особое значение для моделирования физических систем приобрели взвешенные ориентированные графы, названные графами потоков сигналов или сигнальными графами. Вершины сигнального графа отождествляются с некоторыми переменными, характеризующими состояние системы, а вес каждой вершины означает функцию времени или некоторые величины, характеризующие соответствующую переменную (сигнал вершины). Дуги отображают связи между переменными, и вес каждой дуги представляет собой численное или функциональное отношение, характеризующее передачу сигнала от одной вершины к другой (передача дуги). Сигнальные графы находят широкое применение в теории цепей и систем, а также во многих других областях науки и техники.

Типы конечных графов. Если множество вершин графа конечно, то он называется конечным графом. В математике рассматриваются и бесконечные графы, но мы заниматься ими не будем, так как в практических приложениях они встречаются редко. Конечный граф G = (V, E), содержащий р вершин и q ребер, называется (р, q)-графом.

Рис. 5. Типы графов: а - псевдограф; б - полный граф (шестиугольник); в - двудольный граф (биграф).

Пусть V = { } и E = { } - соответственно множества вершин и ребер (р, q)-графа. Каждое ребро соединяет пару вершин являющихся его концами (граничными вершинами). Для ориентированного ребра (дуги) различают начальную вершину, из которой дуга исходит, и конечную вершину, в которую дуга заходит. Ребро, граничными вершинами которого является одна и та же вершина, называется петлей. Ребра с одинаковыми граничными вершинами являются параллельными и называются кратными. В общем случае граф может содержать и изолированные вершины, которые не являются концами ребер и не связаны ни между собой, ни с другими вершинами. Например, для (5, 6)-графа на рис. 5, а V={ }; Е= ребра и параллельны, ребро является петлей, а - изолированная вершина.

Число ребер, связанных с вершиной (петля учитывается дважды), называют степенью вершины и обозначают через или deg . Так, для графа на рис. 5, а =1, = 4 и т. д. Очевидно, степень изолированной вершины равна нулю

( = 0). Вершина степени единицы называется концевой или висячей вершиной ( =1). Легко показать, что в любом графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу ребер, а число вершин нечетной степени всегда четно. В орграфе различают положительные и отрицательные степени вершин, которые равны соответственно числу исходящих из и заходящих в дуг. Например, для вершины d орграфа (см. рис. 5, а) имеем = 2 и = 3. Очевидно, суммы положительных и отрицательных степеней всех вершин орграфа равны между собой и равны также числу всех дуг.

Граф без петель и кратных ребер называют простым или обыкновенным. Граф без петель, но с кратными ребрами называют мультиграфом. Наиболее общий случай графа, когда допускаются петли и кратные ребра, называют псевдографом. Так, граф на рис. 4,б - это мультиграф, а на рис. 5, а - псевдограф. Если граф не имеет ребер (Е = Ø), то все его вершины изолированы (V Ø), и он называется пустым или нульграфом. Простой граф, в котором любые две вершины соединены ребром, называется полным (на рис. 5, б приведен пример полного графа с шестью вершинами). Если множество вершин V простого графа допускает такое разбиение на два непересекающихся подмножества V₁ и V₂ (V₁ V₂ Ø), что не существует ребер, соединяющих вершины одного и того же подмножества, то он называется двудольным или биграфом (рис. 5, б). Ориентированный граф считается простым, если он не имеет строго параллельных дуг и петель.

Граф, степени всех вершин которого одинаковы и равны г, называется однородным (регулярным) r-й степени. Полный граф с n вершинами всегда однородный степени n-1, а пустой граф-однородный степени 0. Граф третьей степени называют кубическим. Он обладает рядом интересных свойств и, в частности, всегда имеет четное число вершин.

Смежность. Две вершины графа G = (V, Е) называются смежными, если они являются граничными вершинами ребра . Отношение смежности на множестве вершин графа можно определить, представив каждое ребро как пару смежных вершин, т. е. R = 1, 2, …, q. Для неориентированных графов такие пары неупорядочены, так что а для орграфов — упорядочены, причем и, означают соответственно начальную и конечную вершины дуги . Петля при вершине , в обоих случаях представляется неупорядоченной парой . Ясно, что множество вершин V вместе с определенным на нем отношением смежности полностью определяет граф.

Граф можно представить также матрицей смежности. Строки и столбцы этой матрицы соответствуют вершинам графа, а ее (ij) - элемент равен числу кратных ребер, связывающих вершины , (или направленных от вершины v_i к вершине v_j, для орграфа). Например, для графов, приведенных на рис. 4, а и 5, а, имеем соответственно следующие матрицы смежности:

Матрица смежности неориентированного графа всегда симметрична а орграфа - в общем случае несимметрична. Неориентированным ребрам соответствуют пары ненулевых элементов, симметричных относительно главной диагонали матрицы, дугам - ненулевые элементы матрицы, а петлям - ненулевые элементы главной диагонали. В столбцах и строках, соответствующих изолированным вершинам, все элементы равны нулю. Элементы матрицы простого графа равны 0 или 1, причем все элементы главной диагонали нулевые.

Для взвешенного графа, не содержащего кратных ребер, можно обобщить матрицу смежности так, что каждый ее ненулевой элемент равняется весу соответствующего ребра или дуги. Обратно, любая квадратная матрица n-го порядка может быть представлена орграфом с n вершинами, дуги которого соединяют смежные вершины и имеют веса, равные соответствующим элементам матрицы. Если матрица симметрична, то она представима неориентированным графом.