Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Задача Штурма-Лиувилля ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение системы. Для нахождения его общего решения необходимо составить характеристическое уравнение и найти его корни: В зависимости от знака константы, структура общего решения будет различаться. При этом для нахождения частных решений необходимо использовать краевые условий . Возможны три ситуации: а) - общее решение: - частное решение: , можно показать, что данная система имеет нетривиальное решение только в случае, если , что противоречит условию данной структуры общего решения.
б) - общее решение: - частное решение: и данная система не имеет нетривиальных решений. в) - общее решение: т.к. , то - частное решение: Последнее уравнение обладает бесконечным множеством нетривиальных решений: где Отсюда искомая функция запишется в виде: Непосредственной подстановкой в исходное уравнение можно доказать что данная функция является частным решением для любых значений . Для счетного множества значений , множества собственных чисел и функций запишутся в виде: (2) , Метод Фурье (продолжение) Рассмотрим первое уравнение системы (1): Его общее решение с учетом корней характеристического уравнения () и положительности значений константы () запишется в виде: (здесь – константы интегрирования) Для дальнейших построений, воспользуемся одним из граничных условий уравнения (1), а именно однородным условием: . Подставляя в него полученное выше решение, получим: Т.е. формула для запишется следующим образом: . Данное выражение обычно записывают в более удобном виде, приводя к формуле для гиперболического синуса: Множество собственных функций в данном случае:
Теперь можно обратиться к общей идеи метода Фурье – к поиску всего многообразия частных решений в виде . Доказано, что линейная комбинация частных решений также является частным решением, поэтому наиболее «полное» решение исходной задачи представляется следующей зависимостью: где - константы, значение которых необходимо определить, используя условия задачи. В нашем случае однородные граничные условия для и использовались для решения задачи Штурма – Лиувилля, поэтому для определения используем неоднородное граничное условие: . Имеем: (при этом можно показать, что ). Подставляя данное выражение в граничное условие , получим:
Учитывая выражения для коэффициентов Фурье для тригонометрического ряда (для нечетных функций: ), запишем: Тем самым мы получили искомый ответ исходной задачи: , где
Для проверки этого решения его необходимо подставить в исходное уравнение, что с учетом наличия рядов является трудоемкой задачей. Для упрощения процедуры, преобразуем исходную задачу, а именно выберем конкретный вид функции : . Находя коэффициенты , получим: для для Окончательный результат: можно проверить непосредственно подстановкой в исходное уравнение. Представленный вывод может быть получен более простым способом - непосредственной анализом «общей» линейной последовательности по известному (конкретному) граничному условию . Имеем: . Для любых нет значений приводящих данное выражение в верное тождество. Соответственно для получаем:
|