Обернення матриць

Знаходження оберненої матриці для даної називається оберненням цієї матриці. Операція обернення матриць може бути застосована лише до квадратних неособливих (несингулярних) матриць. Оберненою матрицею по відношенню до даної називається матриця, множення на яку даної матриці як справа так і зліва дає одиничну матрицю.

Для матриці A позначимо обернену їй матрицю через A ^-1. Тоді за визначенням маємо

A A ^-1 = A ^-1 A = Е,

де Е – одинична матриця.

В Excel обернення матриці можна здійснити за допомогою функції массиву МОБР(). Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок B4:D6

матрицю A розмірності 3×3. Виділимо діапазон комірок B8:D10, де буде розміщено результат. Вводимо функцію масиву =МОБР(массив), що здійснює транспонування матриці. Далі вказуємо діапазон комірок, в якому міститься матриця А, яку обертають (B4:D6). Щоб завершити введення формули обернення матриці, треба натиснути комбінацію клавіш [Ctrl+Shift+Enter].

Дана комбінація використовується для введення функції =МОБР(B4:D6) у всі

комірки діапазону B8:D10. Після натиснення вказаної клавіатурної комбінації у комірках діапазону B8:D10 відобразиться обернена матриця A ^-1, як у таблиці на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Обернення матриці в Excel

Робота №5. Виконати операцію обернення матриці А за допомогою функції масиву МОБР().

1.6. Обчислення визначників матриць

Визначником квадратної матриці n -порядку називається число, що дорівнює алгебраїчній сумі n! членів, якими є усі можливі добутки n елементів матриці, узятих по одному в кожному рядку і кожному стовпцю. Якщо матриця особлива, вона не підлягає оберненню, і її визначник дорівнює нулю.

Для обчислення визначника матриці в Excel використовується функція масиву МОПРЕД(). Оскільки для матриці А в попередньому прикладі знайдена обернена, її визначник відмінний від нуля.

Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок B4:D6 матрицю A розмірності 3×3. Встановимо табличний курсор в комірку таблиці B7, де буде розміщено результат. Вводимо функцію масиву =МОПРЕД(массив), що здійснює обчислення визначника матриці. Далі вказуємо діапазон комірок, в якому міститься матриця А, для якої знаходиться визначник (B4:D6). Щоб завершити введення формули обчислення визначника, треба натиснути комбінацію клавіш [Ctrl+Shift+Enter]. Результат обчислень представлено на рис. 1.7.

Зауважимо, що якщо деяка комірка діапазону порожня або містить текст, то функції МОБР(), МОПРЕД() повертають значення помилки #ЗНАЧ!. Значення помилки повертається також у випадку, коли вказаний діапазон комірок містить матрицю з різною кількістю рядків і стовпців. Вказані функції виконують обчислення з точністю приблизно 16 значущих цифр, що може в деяких випадках привести до невеликих похибок заокруглення. Зокрема, визначник сингулярної матриці відрізняється від нуля на 10^-16.

Рис. 1.7. Обчислення визначника матриці в Excel

У другому прикладі обчислюється визначник для матриці, розташованої

в діапазоні комірок B9:D11. Оскільки рядки цієї матриці лінійно залежні (третій рядок є лінійною комбінацією перших двох), її визначник дорівнює нулю.

Робота №6. Обчислити визначник матриці А за допомогою функції масиву МОПРЕД(). Матриця A у кожному варіанті береться з відповідного варіанту роботи №5.

2. Розв’язання систем лінійних рівнянь

Способи розв’язання систем лінійних рівнянь в основному поділяються на дві групи: точні та ітераційні методи.

Точні методи являють собою скінченні алгоритми для обчислення розв’язку системи (такими є, наприклад, правило Крамера, метод Гаусса, метод головних елементів та ін.). Ітераційні методи дозволяють отримати розв’язок системи із заданою точністю як результат збіжного нескінченного процесу (до їх числа відносяться метод ітерації, метод Зейделя та ін.).

2.1. Розв’язання систем лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) у вигляді матричного рівняння

Ax=b,

де А – матриця коефіцієнтів системи, b – вектор-стовпець її вільних членів, x

– вектор-стовпець невідомих.

Якщо матриця А – неособлива, тобто її визначник det A ≠0, то існує обернена матриця A ^-1. Множачи обидві частини рівняння зліва на A ^-1,

одержимо

A ^-1 Ax= A ^-1 b

або

x= A ^-1 b.

В результаті отримано вектор, компонентами якого є шукані невідомі. Розглянемо систему рівнянь з трьома невідомими

2 x ₁ + 2 x ₂ + x ₃ = 5 x ₁ +5 x ₂ +5 x ₃ =10 5 x ₁ + x ₂ + 2 x ₃ =11

Запишемо її в матричній формі Ax=b, де

Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок A4:C6 матрицю A, в D4:D6 – стовпець вільних членів b (рис. 2.1). За допомогою функції масиву МОПРЕД() обчислимо визначник системи, і результат розрахунку розмістимо в комірці C8. Оскільки det A= 32≠0, то система має єдиний розв’язок, і існує обернена матриця A ^-1. За допомогою функції МОБР() знайдемо матрицю, обернену матриці A, і розташуємо її у комірках діапазону A11:C13. В результаті множення матриці A на обернену матрицю A ^-1 з використанням функції масиву МУМНОЖ(), отримаємо одиничну матрицю Е, розміщену в діапазоні комірок A16:C18. Помноживши обернену матрицю A ^-1 на вектор b, одержимо розв’язок системи лінійних рівнянь, записаний у діапазоні комірок D16:D18. Отже x ₁ =1,563; x ₂ = 0,188; x ₃ =1,500.

Рис. 2.1. Розв’язання СЛАР за допомогою оберненої матриці

Робота №7. Розв’язати систему рівнянь, використовуючи функції масиву МОПРЕД(), МОБР (), МУМНОЖ() для обчислення визначника матриці, оберненої матриці та множення матриць.

2.2. Розв’язання систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Якщо визначник системи лінійних рівнянь ∆= det A ≠0, то її розв’язок може бути знайдений за формулами Крамера

де ∆ _i, i =1, n – визначники, отримані з визначника системи ∆ шляхом заміни

його і -го стовпця стовпцем вільних членів системи рівнянь b.

Введемо в електронну таблицю в діапазон комірок A3:D7 матрицю A, в

Введемо в комірку A25 формулу =A22/$E$22 для обчислення невідомого x ₁. Адреса комірки, в якій міститься значення визначника, вибрана абсолютною. При копіюванні цієї формули в діапазон комірок A25:D25 в процесі використання механізму автозаповнення адреса комірки $E$22 залишиться незмінною, і всі формули в комірках діапазону будуть посилатися на число в цій комірці:

Рис. 2.2. Розв’язання системи за формулами Крамера

Робота №8. Розв’язати систему рівнянь за формулами Крамера, використовуючи функції масиву