Лабораторна робота №5

Тема: Методи розв'язання нелінійних рівнянь із одним невідомим. Графічні методи розв’язанні рівнянь та знаходження інтервалів локалізації коренів.

Мета роботи: Вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь із одним невідомим; навчитися розв’язувати нелінійні рівняння та знаходити інтервали локалізації коренів графічним методом засобами пакета Ms Excel.

Перед виконанням роботи рекомендується уважно вивчити матеріал лекції 3 навчального посібника, а також відповісти на запитання для самоконтролю.

Запитання для самоконтролю

1. Назвіть приклади алгебраїчних та трансцендентних рівнянь.

2. Назвіть методи розв’язання нелінійних рівнянь.

3. Які етапи розв'язання нелінійних рівнянь.

4. Назвіть методи відділення коренів.

Завдання 5.1. Графічним методом визначити наявність, приблизне розташування й кількість коренів заданих рівнянь.

Пояснення. У ході виконання цього завдання необхідно встановити для заданих рівнянь відрізки, що містить усе коріння (якщо відрізки не задані особливо). Для цього перетворіть вихідне рівняння до виду j(x) = l(х), і побудуйте “від руки” приблизні графіки функцій y=j(x) і y=l(х). Точки перетинання графіків цих функцій укажуть розташування коренів рівняння. Рівняння для виконання першого й наступних завдань беруться з таблиці 1 (див. додаток до роботи).

Завдання 5.2. Побудуйте графіки функцій у середовищі табличного процесору MS Excel для знаходження приблизного значення коренів та їх локалізації на заданому відрізку. Для завдання границь відрізка (інтервалу побудови) використовуйте результати, отримані в ході виконання попереднього завдання. Значення кроку побудови графіків оберіть у межах 0,1≤ h ≤1. Результати представте у вигляді таблиці:

Теоретичні відомості

При рішенні практичних завдань часто доводиться стикатися з розв’язанням рівнянь з однією невідомою j(x) = l(х), де j(x) і l(х) задані функції, визначенні на деякій числовій множині Х, яке зветься областю допустимих значень рівняння.

Будь - яке рівняння з однією невідомою можна привести до вигляду: f(x) =0

Методи розв'язання будь-яких рівнянь (алгебраїчні рівняння, диференціальні рівняння, системи лінійних рівнянь) бувають трьох типів:

Ø прямі (точні, кінцеві),

Ø графічні,

Ø ітераційні (наближені, нескінченні).

Одним з методів вирішення рівнянь є графічний. Точність такого рішення невелика, однак за допомогою графіка ми можемо вибрати перше наближення, з якого почнеться подальше вирішення рівняння. Існує два способи графічного вирішення рівнянь.

Перший спосіб. Всі члени переносять в ліву сторону, тобто представляють рівняння у вигляді f(x) =0. Після цього будують графік функції y = f(x), де f(x) - ліва частина рівняння. Абсциси перетинання графіка функції y = f(x) з віссю Ох і будуть коренями рівняння, тому що в цих точках y = 0. Тут обов'язкове визначення загальних властивостей, тобто дослідження вихідної функції для того, щоб уникнути втрати коренів рівняння.

Другий спосіб. Якщо вихідне рівняння f(x) =0 можливо представити у вигляді j(х) =g(x), то тоді розв'язок зводиться до відшукання абсцис точок перетинання кривих y = j(х) та y = g(x). Всі члени рівняння розбивають на дві групи, одну з яких записують в лівій частині рівняння, а іншу – в правій. Тобто, рівняння набуває вигляду j(х) =g(x). Після цього будують графіки двох функцій y = j(х) та y = g(x). Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій и слугують коренями даного рівняння. Нехай точка перетину графіків має абсцису х₀, ординати обох графіків в цій точці рівні між собою, тобто j(х₀) =g(x₀). Із цієї рівності і витікає, що х₀ – корінь рівняння.

ПРИКЛАД 5.1. Знайти корені полінома

x³ - 0,01x² - 0,7044x + 0,139104 = 0.

Для початку розв'яжемо рівняння графічно. Відомо, що графічним розв'язком рівняння f(x)=0 є точка перетинання графіка функції f(x) з віссю абсцис, тобто таке значення x, при якому функція перетворюється в нуль.

Проведемо табулювання нашого полінома на інтервалі від -1 до 1 із кроком 0,2. Результати обчислень наведені на Рис. 7.1., де в комірку В2 була введена формула: = A23 - 0,01*A22 - 0,7044*A2 + 0,139104. На графіку видне, що функція три рази перетинає вісь Оx, а тому що поліном третього ступеня є не більш трьох речовинного корінь, той графічний розв'язок поставленої задачі знайдене. Інакше кажучи, була проведена локалізація корінь, тобто визначені інтервали, на яких перебуває коріння даного полінома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] і [0.6,0.8].

Рис. 5.1.

ПРИКЛАД 5. 2. Розв'язати рівняння e ^x - (2 x - 1)² = 0.

Проведемо локалізацію коренів нелінійного рівняння.

Для цього представимо його у вигляді f(x) = g(x), тобто e ^x = (2 x - 1)² або f(x) = e ^x, g(x) = (2x - 1)², і розв'яжемо графічно.

Графічним розв'язком рівняння f(x) = g(x) буде точка перетинання ліній f(x) і g(x).

Побудуємо графіки f(x) і g(x). Для цього в діапазон А2:А22 уведемо значення аргументу з кроком 0,1. У комірку В2 уведемо формулу для обчислення значень функції f(x): = EXP(A2), а в С2 для обчислення

g(x): = (2*A3-1)2.

Результати обчислень і побудова графіків f(x) і g(x) в одній графічній області показані на Рис. 5.2.

Рис. 5.2.

На графіку видне, що лінії f(x) і g(x) перетинаються двічі, тобто дане рівняння має два розв'язки. Одне з них тривіальне й може бути обчислене точно:

Для другого можна визначити інтервал ізоляції кореня: 1,5 < x < 2.

Завдання для самостійної роботи

Таблиця 1.

№ вар	Рівняння	№ вар	Рівняння
			/; /
			/; /
			;