Замечание математического характера

Неформально, правило Утверждения Переобъявления гласит: "Повторное объявление утверждений может лишь сужать область допустимого поведения, не нарушая ее". Сейчас, завершая обсуждение этой темы, приведем строгую формулировку данного свойства.

Пусть подпрограмма реализует частичную функцию r, отображающую множество возможных входных состояний I в множество возможных выходных состояний O. Утверждения подпрограммы определяют правила действия r и ее возможных переопределений.

[x]. Предусловие задает область определения DOM функции r (подмножество I, на котором r гарантированно вырабатывает результат).

[x]. Постусловие задает для каждого x из DOM подмножество RESULTS(x) множества O, такое, что r (x)

RESULTS (x). Так как постусловие не всегда однозначно описывает результат, это подмножество может иметь больше одного элемента.

Правило Утверждения Переобъявления означает, что повторное объявление может расширять область определения и сужать множество результатов. Пометив новые множества знаком ', запишем требования, закрепленные этим правилом:

DOM' DOM

RESULTS' (x) RESULTS (x) для всех x из DOM

Предусловие устанавливает, что подпрограмма и ее повторные объявления, как минимум, должны принимать некоторые входы (DOM), хотя повторные объявления могут это множество и расширить. Постусловие говорит, что результаты, возвращаемые подпрограммой и ее повторными объявлениями, могут, самое большее, содержать значения из RESULTS(x), однако, постусловия при повторных объявлениях могут это множество сузить.

В этом описании состояние системы в период выполнения определяется состоянием (значениями) всех достижимых объектов. Кроме того, входные состояния (элементы I) также включают в себя значения аргументов. Более подробное введение в математическое описание программ и языков программирования см. в [M 1990].