Принцип Даламбера-Лагранжа

При движении механической системы в любой момент времени сумма работ активных сил, сил реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении из занимаемого положения равна нулю.

Рассмотрим систему из N мат. точек. В соответствии с принципом Даламбера, приложенные к каждой точке активные силы, реакции связей и силы инерции в любой момент времени образуют уравновешенную систему сходящихся сил. Эта система удовлетворяет условию равновесия

Умножим обе части уравнения на возможное перемещение k -й точки и просуммируем полученные для всех точек системы произведения.

Раскрывая скалярные произведения получаем

Или

Если связи, наложенные на систему, идеальные, то и

В обобщенных координатах

Общее уравнение динамики в обобщенных силах

32. Обобщенные силы. Способы вычисления обобщенных сил.

Обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.

Рассмотрим возможную работу сил, приложенных к точкам системы

Если мех. система при наложенных на неё голономных удерживающих связях имеет n степеней свободы, то положение этой системы определяется обобщенными координатами и . Возможное перемещение k -й точки

Подставляя в формулу для возможной работы сил, получаем

Способы вычисления

- согласно определению, обобщенная сила

Принимая во внимание, что ,

получаем

Этот способ называют аналитическим.

- Обобщенные силы для механических систем с n>1 целесообразно вычислять последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации независимы между собой. Системе всегда можно сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координат, а другие при этом не варьируются. В этом случае

откуда

33. Условия равновесия механической системы, выраженные в обобщенных силах.

Для равновесия системы, подчиненной голономным удерживающим связям, необходимо и достаточно, чтобы обобщенные силы, соответствующие всем обобщенным координатам системы, были равны нулю.

Положим, что механическая система из N точек, в силу наложенных на неё голономных удерживающих связей имеет n степеней свободы. Положение такой системы в пространстве определяется обобщенными координатами , и радиус-вектор k -й точки есть функция обобщенных координат:

Возможное перемещение каждой точки системы

Подставляя выражение для в условие равновесия системы получаем

После изменения порядка суммирования это условие принимает вид

(I)

Так как обобщенные координаты независимы, то их вариации тоже будут независимы между собой. Поэтому условие (I) будет выполнено, если равны нулю обобщенные силы, соответствующие всем обобщенным координатам системы

Если силы, приложенные к точкам механической системы, потенциальные, то

В этом случае условия равновесия имеют вид

или

34. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода.

Рассмотрим движение системы из N мат. точек относительно инерциальной системы отсчета. Если некоторые связи не идеальные, то соответствующие им реакции следует добавить к действующим на систему активным силам.

Общее уравнение динамики для такой системы имеет вид

(1)

Пусть система имеет n степеней свободы и её положение определяется обобщенными координатами . Возможное перемещение k -й точки

(2)

Подставляя (2) в (1) и изменяя порядок суммирования получаем

(3)

В этом выражении - обобщенная сила, соответствующая i -й координате. Преобразуем выражение

(4)

Так как , то

(5)

Равенство (4) называется первым тождеством Лагранжа.

Заменив на основании этого тождества производную на в первом слагаемом выражения (5), получим

Следовательно

(I)

Где Т – кинетическая энергия механической системы

Преобразуем теперь производную . Так как , то - функция обобщенных координат и времени. Поэтому, с одной стороны,

(6)

С другой стороны

и

(7)

Сопоставляя (5) и (6) заключаем, что

(8)

Это второе тождество Лагранжа.

М учетом данного тождества получаем

(II)

Подставляя в общее уравнение (3) выражение для обобщенной силы б а также результаты преобразований (I) и (II), находим

(III)

Вариации обобщенных координат независимы между собой, поэтому условие (III) будет выполнено, если равны нулям множители при всех , т.е. если

(*)

Уравнения (*) называются уравнениями Лагранжа второго рода.

 

35. Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

 

 

Моменты инерции относительно осей координат

Центробежные моменты инерции относительно тех же осей.

 

Тензор инерции:

 

36. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции симметричных твёрдых тел.

Эллипсоид инерции – поверхность второго порядка, построенная в любой точке тела – характеризует спектр моментов инерции тела относительно осей, проходящих через эту точку.

Для построения этой поверхности на каждой из оси Ol, проходящей через точку О, откладывают от этой точки отрезок

Главные оси (симметрии) эллипсоида инерции, построенного в точке твёрдого тела, называют главными осями инерции для данной точки тела.

Если оси координат направить по взаимно перпендикулярным главным осям эллипсоида инерции (OX, OY, OZ), то его уравнение будет иметь вид

(1)

Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным эллипсоидом инерции, а его главные оси – главными центральными осями инерции тела. В формуле это . Моменты инерции относительно главных центральных осей инерции называют главными центральными моментами инерции тела и обозначают

. Сравнив (1) с уравнением эллипсоида в канонической форме

получим

Эллипсоид называется трёхосным, если все главные моменты инерции для точки тела различны, и эллипсоидом вращения, если два главных момента инерции для точки тела равны.