При решении задачи надо помнить, что в 4-ой системе счисления самая старшая цифра – 3

Запишем первое и последнее число в заданном диапазоне в системе счисления с основанием 4:

13 = 31₄, 23 = 113₄ .

Оба они содержат цифру 3, так что, 2 цифры мы уже нашли.

Между 31₄ и 113₄ есть еще числа:

32₄, 33₄, 100₄, 101₄, 102₄, 103_4, 110₄, 111₄, 112₄.

В них 4 цифры 3, поэтому всего цифра 3 встречается 6 раз.

Ответ: 6

Решение (вариант 2):

Можно перевести все указанные числа в систему счисления с основанием 4 и подсчитать количество 3:

13 =31₄, 14 =32₄, 15 =33₄, 16 =100₄, 17 =101₄, 18 =102₄, 19 =103₄, 20 =110₄, 21 = 111₄, 22=112₄, 23 = 113₄ .

Получается 6 штук.

Ответ: 6

14. Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 двузначна.

Решение: Так как число по условию двухзначное, то достаточно найти первое целое число, квадрат которого больше 50; это - 8, так как:

Так как , следовательно, в системе счисления с основанием 7 запись числа 50 будет трехзначна, а в 8-ой системе счисления – двузначной.

Ответ: 8

15. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

Решение: Поскольку , в интересующих нас числах может быть не более 2 цифр. Есть всего одно однозначное число, начинающееся на 4, это 4. Выпишем все числа в шестеричной системе счисления, которые являются двузначными, начинаются с 4 и не превосходят 25 в десятичной системе. Это числа: 40₆ = 24, 41₆ = 25. Ответ: 4, 24, 25

16. Запись числа 65₈ в некоторой системе счисления выглядит так: 311_N. Найдите основание системы счисления N.

Решение: Из условия задачи следует, что 65₈ = 311_N. Переведем 65₈ в десятичную систему счисления:

,

Второе число разложим по основанию счисления N:

Так как что 65₈ = 311_N, то можно записать: .

Решаем это уравнение и получаем, что N = 4.

Ответ: 4

17. Даны 4 числа, они записаны с использованием различных систем счисления. Укажите среди этих чисел то, в двоичной записи которого содержится ровно 5 единиц. Если таких чисел несколько, укажите наибольшее из них.

1) 31₁₀ * 8₁₀ + 1₁₀ 2) F0₁₆ + 1₁₀ 3) 351₈ 4) 11100011₂

Решение: Нужно перевести все заданные числа в двоичную систему, подсчитать число единиц и выбрать наибольшее из чисел, в которых ровно 5 единиц.

Для первого варианта переведем оба сомножителя в двоичную систему:

31­₁₀ = 11111­₂ 8₁₀ = 1000­₂

В первом числе ровно 5 единиц, умножение на второе добавляет в конец три нуля:

31­₁₀ * 8₁₀ = 11111­₂ * 1000­₂ = 111110­00₂

то есть в этом числе 5 единиц, но надо добавить еще одну единицу в конец, получим число 11111001, в котором 6 единиц. Так как нам нужны числа с 5-ю единицами, то это число не рассматриваем.

Для второго варианта воспользуемся двоичным представлением 16-ричных чисел: каждую цифру шестнадцатеричного числа можно переводить отдельно в тетраду (4 двоичных цифры):

F­0₁₆ = 1111­0000₂

после добавления единицы F0₁₆ + 1 = 1111 0001₂ получаем число, содержащее ровно 5 единиц.

Для третьего варианта используем связь между восьмеричной и двоичной системами: каждую цифру восьмеричного числа переводим отдельно в триаду (группу из трёх) двоичных цифр:

351₈ = 11101001­₂

это число тоже содержит 5 единиц, но меньше, чем число во втором варианте ответа.

Последнее число 11100011₂ уже записано в двоичной системе, оно тоже содержит ровно 5 единиц, но меньше второго и третьего числа.

Таким образом, только 3 числа, указанные в вариантах ответов, содержат ровно 5 единиц, но наибольшее из них – второе.

Ответ: 2

18. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько среди них чисел, больших, чем А4₁₆ +20₈?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение: Надо перевести А4₁₆ +20₈ в двоичную систему счисления, разложив их по тетрадам для 16-х чисел и по триадам для 8-х чисел: А4₁₆ - 10100100₂ и 20₈ - 10000₂ и поразрядно сложить: 10100100₂ + 10000₂ = 10110100₂.

Сравнив с заданными числами, видим, что только одно число больше полученного, это: 10111000.

Ответ: 1

19. К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.

Решение: Так как приписали 2 нуля, то для решения задачи достаточно вычислить 8² =64.

Ответ: 64

20. Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.

Решение: Обозначим искомое основание системы счисления через x, тогда можно записать выражение:

109 = 2 x ²+ x +4 или 2 x ²+ x -105 = 0. Решив это уравнение, получим x =7.

Ответ: 7

Дополнительно (для самых умных):

1) Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.

Решение: Из первых двух условий задачи следует, что 5² = 25 ≤ N < 6² = 36, следовательно, значение N надо искать из следующего набора чисел: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.

Из третьего условия находим число, которое при делении на 11 дает остаток 1, это число 34.

Проверка: 34 = 54₆ =5· 6¹ + 4 · 6⁰ , 34 = 114₅ = 1· 5² + 1 · 5¹ + 4 · 5⁰ , 34 = 31₁₁ = 3 · 11¹ + 1 · 11⁰ .

Ответ: 34

2) Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

Решение: Так как старшая цифра в выражении 4, то надо рассматривать системы счисления, начиная с 5-ной.

Пятеричная система не подходит, т.к. 4 + 4 в пятеричной системе даст нам последнюю цифру в ответе 3. Шестеричная система так же не подходит – последняя цифра в ответе будет 2. А вот семеричная система подойдет для всех цифр ответа.

Ответ: 7

Дополнительно (для самых-самых умных):

1. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 11.

Общий подход:

· неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через

· пока будем считать, что запись числа 31 в системе с основанием состоит из трех цифр, причем две младшие (11) нам даны, а одну (обозначим ее через ) нужно найти:

2 1 0 ← разряды

31 = k 1 1_N = k·N² + N¹ + N⁰ = k·N² + N + 1

· можно показать, что при большем количестве разрядов эта формула также верна, то есть, число 31 можно представить как при некотором целом ; например, для числа с пятью разрядами получаем:

4 3 2 1 0 ← разряды

31 = k₄ k₃ k₂ 1 1_N = k₄·N⁴ + k₃·N³ + k₂·N² + N¹ + N⁰

= k·N² + N + 1

для (из первых трех слагаемых вынесли общий множитель )

Решение: Нужно найти все целые числа , такие что

(**)

где – целое неотрицательное число (0, 1, 2, …).

Сложность в том, что и , и неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа.

Из формулы (**) получаем , так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 30 и отобрать только те из них, для которых уравнение (**) разрешимо при целом , то есть, – целое число.

Выпишем все делители числа 30, большие или равные 2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Из всех этих делителей только для 2, 3, 5 и 30 значение – целое число (оно равно соответственно 7, 3, 1 и 0)

Ответ: 2, 3, 5, 30.

Замечание: Можно, конечно, решить задачу и методом подбора.

31 = 2⁵ – 1 = 11111₂

31 = 1011₃

31 = 111₅

31 = 11₃₀

2. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 94 начинается на 23.

Решение: Из условия задачи видно, что искомое основание не меньше 4 (в записи есть цифра 3).

Если запись числа 94 в некоторой системе счисления с основанием двузначна (94 = 23_x), то справедливо равенство .

Нас интересуют натуральные решения этого уравнения, такие что , но таких решений нет.

Предположим, что число четырехзначное. Минимальное допустимое четырехзначное число – 2300_x, где . При минимальном основании () оно равно .

Следовательно, запись нужного нам числа имеет три знака.

Можно записать: , где – целое неотрицательное число, такое что .

Максимальное можно определить как решение уравнения (при ).

Получаем одно из решений – 6,15. Отсюда: 4≤ .

определится как: .

Подставим поочередно в эту формулу , пытаясь получить .

Минимальное = 4 будет при , т.е условие выполняется, а при получается .

Ответ: 6