Общая математическая модель динамической системы

Введем понятие состояния системы как внутренней характеристики системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины. Состояние можно рассматривать как некоторое хранилище информации, необходимой для предсказания влияния настоящего на будущее. Обозначим это состояние через z(t), в общем случае это может быть вектор. Систему можно представить в следующем виде (рис. 2.1):

Рис. 2.1. Система, имеющая вход, выход и внутреннее состояние

Вышесказанное означает, что существует такое отображение

что

где Z – множество всех значений состояния системы;

T – множество моментов времени;
Y – множество значений выходных величин.

С помощью этого отображения по вектору состояния в момент времени t можно определить значение вектора выходной величины в этот же момент времени. Это отображение называется отображением выхода. Явная зависимость h от t введена для учета возможности изменения зависимости выхода от состояния с течением времени.

Для полноты построения модели системы нужно еще описать связь между вектором входа x(t) и вектором состояния z(t). Для этого вводится параметрическое семейство отображений

,

заданных для всех значений параметров , причем . Это означает принятие аксиомы о том, что состояние в любой момент t > t однозначно определяется: 1) состоянием в момент t; 2) отрезком реализации входного воздействия от t до t:

Такое отображение называется переходным отображением.

Математическая модель системы, соответствующая типу «белый ящик», представляет собой задание множеств входов Х, состояний Z и выходов Y, а также связей между ними, задаваемых отображениями s и h:

Подобная модель носит также название «вход-состояние-выход» (в отличие от ранее встречавшихся моделей «вход-выход»).

Вопросы к разделу 2.1

1. Что означает с математической точки зрения понятие «состояние системы»?

2. Почему семейство отображений называется параметрическим?

3. Что с чем связывает отображение выхода?

4. Что с чем связывает переходное отображение?

5. Что являет собой с математической точки зрения модель типа «белый ящик»?