Завдання. ІV студентська олімпіада з алгебри,

1951-2006

ІV студентська олімпіада з алгебри,

присвячена пам’яті професора Віталія Михайловича УСЕНКА

17 квітня, 2015 р.

Завдання

1. Довести, що існує безліч множин, які складаються з натуральних чисел , , …, , при цьому будь-які різні два з цих чисел є взаємно простими, а число є добутком двох послідовних парних чисел.

2. Знайти усі пари дійсних чисел , таких що .

Тут через позначена ціла частина числа , - дробова частина .

3. Розв’язати в дійсних числах систему:

4. Знайти кількість всіх двоелементних напівгруп.

5. З’ясуйте, чи iзоморфнi група , де , i група , де .

6. Зафіксуємо натуральне число та визначимо на множині операції та за правилами:

Чи виконується в алгебрі тотожність ?

На виконання роботи відводиться 3 години

Кожне завдання оцінюється в 7 балів

Користуватися калькуляторами забороняється